Subgrupos cíclicos de Torus

Question

Consideremos un toroide $T_2:= S^1 \times S^1$ . Fijar enteros $a,b$ tal que gcd(a,b)=1. Definimos el círculo $S^1(a,b) \subset T_2$ a través de la siguiente incrustación

$$\begin{align} S^1 &\hookrightarrow S^1 \times S^1 \\ t &\mapsto (t^a,t^b) \end{align}$$

Además, definimos el grupo cíclico finito $\mathbb{Z}_n(a,b)$ para ser el estándar $\mathbb{Z}_n \subset S^1(a,b)$ es decir, el grupo cíclico definido a través de la incrustación

$$\begin{align} \mathbb{Z}_n &\hookrightarrow S^1 \times S^1 \\ \zeta &\mapsto (\zeta^a,\zeta^b) \end{align}$$

donde $\zeta$ es una primitiva $\text{n}^{\text{th}}$ raíz de la unidad.

Dado $\mathbb{Z}_n \subset S^1(a,b)$ En qué condiciones en $a^\prime, b^\prime$ est $\mathbb{Z}_n \subset S^1(a^\prime, b^\prime) \cap S^1(a,b)$ .

He intentado elaborar varios ejemplos con diferentes valores para $n,a,b$ y para esos valores sí consigo que si $a^\prime \equiv a ~(mod ~n~)$ y $b^\prime \equiv b ~(mod ~n~)$ entonces $\mathbb{Z}_n \subset S^1(a^\prime, b^\prime) \cap S^1(a,b)$ .

Es $a^\prime \equiv a ~(mod ~n~)$ y $b^\prime \equiv b ~(mod ~n~)$ una condición necesaria y suficiente para $\mathbb{Z}_n \subset S^1(a^\prime, b^\prime) \cap S^1(a,b)$ ?

Si esto es realmente cierto, se agradecería cualquier ayuda para demostrarlo.

Answer 1

El subgrupo del círculo correspondiente al par $(a,b)$ es un $(a,b)$ -nudo de toro. Digamos que queremos calcular la intersección del $(a,b)$ - y $(c,d)$ -nudos de toro. Escribe

$$(\zeta^a,\zeta^b)=(\xi^c,\xi^d).$$

Con $\zeta=\exp(2\pi i s)$ y $\xi=\exp(2\pi i t)$ (donde $s,t\in\mathbb{R}$ ) esto se convierte en

$$\begin{cases} as\equiv ct \\ bs\equiv dt \end{cases} \mod1 ​$$

(es decir, como elementos de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ). Podemos hacer $d$ veces el primer menos $c$ veces el segundo para obtener $(ad-bc)s\in\mathbb{Z}$ , y de forma similar $a$ veces el segundo menos $b$ veces la primera para $(ad-bc)t\in\mathbb{Z}$ , lo que implica $\zeta,\xi$ debe ser $n$ raíces de la unidad, donde $n=ad-bc$ .

Los homomorfismos $(x^a,x^b)$ y $(x^c,x^d)$ tienen la misma imagen cuando se restringen al $n$ a raíz de la unidad. Para ver esto, basta con mostrar que podemos resolver el sistema

$$\begin{cases} am \equiv c \\ bm\equiv d \end{cases} \mod n$$

Por Bezout's podemos elegir $x,y$ para que $ax+by=1$ . Entonces, si añadimos $x$ por la primera ecuación y $y$ por el segundo obtenemos $m\equiv cx+dy\mod n$ . Puede verificarse una solución válida, por ejemplo

$$\begin{array}{ll} am & =a(cx+dy) \\ & = c(ax)+(ad)y \\ & = c(1-by)+(ad)y \\ & = c+(ad-bc)y \\ & \equiv c \end{array}$$

y de manera similar $bm\equiv d$ mod $n$ . Además, si $\zeta$ es una primitiva $n$ raíz entonces $(\zeta^a,\zeta^b)$ también es una primitiva $n$ de la raíz, de nuevo por la de Bezout. Por lo tanto, la intersección es cíclica de orden $n=ad-bc$ .

Esto muestra $a\equiv c,b\equiv d$ mod $n$ es suficiente para que la intersección contenga un subgrupo cíclico de orden $n$ pero no es necesario, por ejemplo, para $(a,b)=(2,-1)$ , $(c,d)=(1,2)$ , $n=5$ .