He tratado de resolver este problema de optimización utilizando los métodos de Lagrange. Analizando el interior del dominio, está claro que tiene un mínimo en $(0,-0.5)$ . Pero analizando a lo largo de la frontera, descubrí el punto $(0,1)$ usando lagrange. La matriz hessiana es positiva definida por lo que ese punto es un mínimo también. Pero no estoy seguro de que lo que he hecho sea correcto. ¿Hay otro punto crítico?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cesar Eo
Puntos
61
Con $f(x,y) = x^2+y^2+y-1$ sigue el lagrangiano
$$ L(x,y,\lambda,s) = f(x,y)+\lambda(x^2+y^2-1+s^2) $$
Aquí $s$ es una variable de holgura para transformar la desigualdad en una ecuación. Los puntos estacionarios son las soluciones de
$$ \nabla L = \cases{2x+2\lambda x = 0\\ 2y+1+2\lambda y = 0\\ x^2+y^2-1+s^2=0\\ \lambda s = 0} $$
dando
$$ \left[ \begin{array}{ccccc} f& x & y & \lambda & s^2\\ -\frac{5}{4} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{4} \\ -1 & 0 & -1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\ \end{array} \right] $$
A continuación se muestra un gráfico con las curvas de nivel para $f(x,y)$ en negro, la región factible en azul claro y los puntos estacionarios en rojo. Obsérvese que $s=0$ en los puntos fronterizos.
