Cómo probar $\left(\frac{D}{\sqrt{3}}+\frac{d}{2}\right)^{2}\geq n\cdot\frac{d^{2}}{4}$ para $D=\max{A_iA_j}, d=\min{A_iA_j} (1\leq i<j\leq n)$ ?

Question

Sean n puntos $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ en el avión $(n\geq 3$ ). Sea $D=\max{A_iA_j}, d=\min{A_iA_j} (1\leq i<j\leq n)$ . Cómo probar $\left(\frac{D}{\sqrt{3}}+\frac{d}{2}\right)^{2}\geq n\cdot\frac{d^{2}}{4}$ ?

Answer 1

ADVERTENCIA: ESTA NO ES UNA RESPUESTA COMPLETA

Vamos $\varepsilon \gt 0$ es un número pequeño y $$ D=\left(\frac{d-\varepsilon}{\sqrt{2}}\right)m+\delta;0\le\delta\lt\frac{d-\varepsilon}{\sqrt{2}};m\in N. $$ Entonces tenemos que $$n\le(m+1)^2$$ , así que $$n\le\left(\frac{\sqrt{2}(D-\delta)}{d-\varepsilon}+1\right)^2\Rightarrow n\le\left(\frac{\sqrt{2}D}{d-\varepsilon}+1\right)^2.$$ Dado que la última desigualdad es cierta para cualquier tamaño suficientemente pequeño $\varepsilon$ tenemos que $$n\le\left(\frac{\sqrt{2}D}{d}+1\right)^2.$$ Haciendo algunas modificaciones elementales tenemos $$ \left(\frac{D}{\sqrt{2}}+\frac{d}{2}\right)^{2}\geq n\cdot\frac{d^{2}}{4}.$$ La idea básica de esta prueba es que todos los puntos deben estar en algún cuadrado con longitud de lado igual $D$ . A continuación, dividimos ese cuadrado en pequeños cuadrados con una longitud diagonal inferior a $d$ . Entonces concluimos que cada uno de estos cuadrados no puede contener más de un punto $A_i$ . No he podido mejorar este enfoque. Tal vez alguien puede mejorarlo y obtener el deseo atado.