Es trivial satisfacer sólo uno de ellos. En 2D por ejemplo ( $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ abajo), $\nabla\cdot(x,-y) = 0$ . Sin embargo, $\Vert v \Vert = r$ por lo que sólo se cumple la condición de divergencia. Por otro lado, para $(x/r, y/r)$ tenemos $\Vert v \Vert = 1$ pero $\nabla\cdot v=1/r$ en lugar de 0.
Nótese que la primera es una restricción diferencial, mientras que la segunda es sólo una restricción algebraica. ¿Existe un nombre estándar para este tipo de problema que implica una mezcla de operaciones algebraicas y diferenciales?
Editar : Se excluye un campo vectorial unitario uniforme porque es trivial.
Editar : Solución en 2D
Gracias al artículo que me señaló @LuisFerreira, puedo construir un campo 2D que satisface el requisito, excepto en algunos puntos singulares. La prueba en el papel está más allá de mí, así que lamentablemente no puedo explicar por qué existe tal singularidad.
Primero: reconocer que $v = \nabla^\perp \psi$ , donde $\psi$ es la función de flujo y la operación da un campo vectorial 2D $(\psi_y, -\psi_x)$ . Entonces la condición de divergencia se satisface automáticamente
Segundo: la restricción de la norma es $\Vert v \Vert = \Vert \nabla^\perp\psi \Vert = \Vert \nabla \psi \Vert = 1$ . La 2ª igualdad es clara si se expresa en componentes. $\Vert \nabla \psi \Vert = 1$ es la ecuación de Eikonal, cuya solución clásica es el campo de distancia.
Ejemplo, el campo de distancia al origen es $\psi(x,y)=r=\sqrt{x^2+y^2}$ Así que $$ v = \nabla^\perp \psi = \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, -\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) $$
Una parcela
$v$ es libre de divergencia y tiene longitud unitaria, pero es singular en el origen.
Comentario En 3D no tenemos escalar función de flujo por lo que el problema puede ser bastante diferente/difícil (tenemos potencial vectorial, que a su vez es un vector en lugar de un campo escalar, por lo que no creo que ayude).
Editar Otro ejemplo 2D basado en el campo de distancia de una elipse. Este no permitirá ninguna descripción analítica.
