Ortocentro y coordenadas de un vértice

Question

En un triángulo ABC,el vértice A es (1,1) y el ortocentro es (2,4).Si los lados AB y BC son miembros de la familia de rectas $ax+by+c=0$ donde $a,b,c$ Entonces las coordenadas del vértice C son (h,k). Encuentra el valor de 2h+12k.

Mi intento:Como las coordenadas de B no están dadas directamente,no tengo ninguna idea para resolver este problema.Además a,b,c en AP me está confundiendo.¿Puede alguien ayudarme en esta pregunta?

Answer 1

AB y BC son miembros de la familia de rectas ax+by+c=0,donde a,b,c están en progresión aritmética. Por lo tanto, podemos escribir

AB: $a_1x+b_1y+c_1=0$ y porque A(1,1) se encuentra en esta línea $\Rightarrow a_1+b_1+c_1=0$ . Porque $a_1,b_1,c_1$ se encuentran en AP de la siguiente manera $a_1+a_1+d+a_1+2d=0\Rightarrow a_1+d_1=0\Rightarrow b_1=0$ . En consecuencia, el vector $(a_1,b_1)=(a_1,0)\perp$ AB $\Rightarrow$ el vector $(0,a_1)$ es colineal con AB. Pero $CH\perp AB\Rightarrow (2-h,4-k)\perp (0,a_1)\Rightarrow (4-k)a_1=0\Rightarrow k=4$ porque $a_1\neq 0$ .

Para BC se procede de la misma manera: BC: $a_2x+b_2y+c_2=0$ y porque $C(h,k)$ se encuentra en esta línea $\Rightarrow a_2h+b_2k+c_2=0\Leftrightarrow a_2h+4(a_2+d_2)+a_2+2d_2=0\Leftrightarrow a_2h+5a_2+6d_2=0 \,\,(*)$ . Ahora utilizamos que el vector $\vec {AH}\,(2-1,4-1)\perp BC$ es decir $(1,3)\perp (-b_2,a_2)=(-a_2-d_2,a_2)\Rightarrow -a_2-d_2+3a_2=0\Rightarrow d_2=2a_2$ . Enchufa esto $(*)$ y obtener $a_2h+5a_2+12a_2=0\Rightarrow h=-17$ porque $a_2\neq 0$ .