Medibilidad de una integral

Question

Dejemos que $\{X_t\}_{t\ge 0}$ ser un adaptador $\mathbb{R}$ -proceso estocástico valorado en algún espacio de probabilidad filtrado $(\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}_t\}_{t\ge 0},\mathbb{P}\}$ tal que para cada $\omega\in\Omega$ y $t\ge 0$ la integral $\int_0^t X_s(\omega)ds$ existe (integración de Lebesgue). ¿Por qué esta integral $\mathcal{F}$ - $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ -medible (como una función en $\omega$ ) si el proceso $X$ es progresivamente medible? ¿Alguien sabe cómo demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

ejemplo
Sin suponer una mensurabilidad "conjunta" de $X_t(\omega)$ en $t$ y $\omega$ no tienes suerte.

Utilizamos la hipótesis del continuo. Existe un conjunto $A \subseteq [0,1] \times [0,1]$ tal que:

$\qquad$ Para cada $t \in [0,1]$ , $\qquad \{\omega \in [0,1] : (t,\omega) \in A\}$ es contable,

$\qquad$ Para cada $\omega \in [0,1]$ , $\qquad \{t \in [0,1] : (t,\omega) \in A\}$ es co-contable.

En el espacio $[0,\omega_1)$ de ordinales contables, el conjunto $\{(s,t) : s > t\}$ tiene estas propiedades; transfiérelo a $\mathbb R$ por CH.

Ahora dejemos que $\Omega = [0,1]$ , $\mathcal F = \mathfrak B$ los conjuntos de Borel en $[0,1]$ . Además, deja que $\mathcal F_t = \mathcal F$ para todos $t \in [0,1]$ .

Dejemos que $\mathbb P$ sea la medida de Lebesgue.

Elija una función no medible $h : [0,1] \to [0,1]$ .

Definir: $$ X_t(\omega) := \begin{cases} h(\omega),\qquad (t,\omega) \in A \\ 0,\qquad (t,\omega) \not\in A \end{cases} $$ Ahora para cada fijo $t$ tenemos $X_t(\omega)=0$ excepto para un número contable de $\omega$ Así que $X_t$ es $\mathcal F_t$ -medible. [Espero que esta sea su definición de "adaptado". $\mathbb R$ -proceso estocástico valorado"].

Por otro lado, para cada $\omega$ tenemos $X_t(\omega)=h(\omega)$ excepto para un número contable de $t$ . Integrando una función que es constante a.e., obtenemos $$ \int_0^1 X_t(\omega)\;dt = h(\omega) $$ que es una función no medible de $\omega$ .