Es $\Gamma(x+y+1)\ge\Gamma(x+1)\Gamma(y+1)$ ?

Question

Pido disculpas si esto ya se ha preguntado, pero no lo he encontrado. Dado $x,y\ge 0$ ¿es cierto que $$\Gamma(x+y+1)\ge \Gamma(x+1)\Gamma(y+1),$$ donde $\Gamma$ es la función gamma? Esto es cierto para los números naturales $x,y$ como entonces $$\Gamma(x+y+1) = (x+y)! \ge x!y! = \Gamma(x+1)\Gamma(y+1),$$ y algunos gráficos en Mathematica parecen mostrar que esta relación también es válida para los reales positivos, pero hasta ahora no he podido encontrar una prueba.

Answer 1

$f(x) = \log \Gamma(x + 1)$ es convexo para $x \ge 0$ (comparar Teorema de Bohr-Mollerup ) con $f(0) = 0$ y, por tanto, superaditiva: $$ f(x+y) \ge f(x) + f(y) \, , $$ ver por ejemplo propiedades de una función convexa .