Prueba sobre la suma de los índices de los puntos singulares

Question

En el problema 8-10 de los Manifolds Topológicos de Lee se discuten los campos vectoriales en el plano, y se definen como mapas continuos $v:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ . Un punto singular aislado es un punto $p$ donde $v(p)=0$ pero hay un conjunto abierto $p\in U$ para que $v^{-1}(0)\cap U=\{p\}$ .

Las dos primeras partes del problema muestran que podemos definir el índice de $p$ de la siguiente manera: encontrar un círculo pequeño $C\in U$ alrededor de $p$ y considerar el mapa $v: C\rightarrow\mathbb{R}^2-\{0\}$ . El índice de $p$ es entonces el número de bobinado de este mapa.

La tercera parte del problema es la siguiente (y donde radica mi pregunta): Supongamos que $p_1,\ldots,p_n$ son todos los puntos singulares aislados de $v$ , todo ello contenido en el disco unitario abierto de $\mathbb{R}^2$ . Sea $S^1$ sea el límite del disco unitario. Mostrar la suma de los índices de los $p_i$ es igual al número de bobinado de $v(S^1)$ .

Tengo la idea de que podría "encoger" $S^1$ hasta los bucles alrededor del $p_i$ y luego mostrar las partes que conectan los bucles se anulan entre sí, número de bobinado. Pero esto es bastante complicado. ¿Hay una manera más formal de demostrar esto? Estoy feliz incluso de recibir una pista en la dirección correcta.

(Perdón por toda la configuración, pero hay muchas maneras de definir el número de bobinado, y no quería usar algo que no se discute en el libro)

Answer 1

Como define Lee, si $v$ tiene un cero aislado en $p$ y si $C$ es un círculo de radio $\varepsilon$ alrededor de $p$ en $\Bbb R^2$ entonces $v|_C : C \to \Bbb R^2 \setminus 0$ es un bucle alrededor del origen, y el índice de $v$ en $p$ es precisamente el número de bobinado de $v|_C$ dada por la fórmula (donde la división se define después de identificar $\Bbb R^2$ con $\Bbb C$ )

$$\iota_p(v) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{v'(s)}{v(s)} ds$$

Cabe destacar que esta fórmula funciona porque, aproximadamente, " $v'(s)/v(s) ds = d\log v(s)$ " donde $\log$ es una función multivaluada definida en $\Bbb C \setminus 0$ que cambia su argumento por $\pm 2\pi i$ si se recorre un círculo en el sentido contrario a las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen. Por lo tanto, $\iota_p(v)$ es una suma sobre $\pm 1$ correspondientes a las rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj de $v|_C$ alrededor del origen, lo que suma el número total de rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj de $v|_C$ alrededor de $0$ . Obsérvese también que por la fórmula de cambio de variables podríamos escribir $$\frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{v'(s)}{v(s)} ds = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{dz}{z}$$ donde $\gamma$ es el bucle $v(C)$ parametrizado por el mapa $v|_C$ .

Supongamos ahora que $p_1, \cdots, p_n$ son ceros aislados de $v$ contenida en el disco $D^2$ . Sea $C_1, \cdots, C_n$ sean círculos de radio $\varepsilon$ alrededor de estos ceros contenidos en $D^2$ lo que podemos conseguir eligiendo $\varepsilon > 0$ adecuadamente. Además, sigamos su sugerencia en la pregunta y eliminemos los arcos $\mathcal{A}_i$ y $\mathcal{A}'_i$ en $\partial D^2$ y $C_i$ respectivamente y añadir en los tubos $T_i$ conectando $\partial D^2$ y $C_i$ insertándolo entre los arcos borrados, más o menos como en la siguiente imagen (no he borrado los arcos mientras dibujaba, ups):

Entonces tenemos un bucle $\ell$ dado por la unión de todos estos trocitos (es decir, atravesando $\partial D^2 - \bigcup_i \mathcal{A}_i$ los tubos $T_i$ y luego los círculos $C_i - \mathcal{A}_i'$ , en orden inverso al de las agujas del reloj) que no contenga ningún cero de $v$ en su interior por la construcción. Por lo tanto, el número de bobinado de $v$ a lo largo de $\ell$ es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{\ell} \frac{v'(s)}{v(s)} ds = \frac{1}{2\pi i} \int_{v(\ell)} \frac{dz}{z} = 0$$ por el teorema de Cauchy como $1/z$ es holomorfo dentro de $v(\ell)$ que es un bucle que no contiene el origen. Podemos expandir la integral de la siguiente manera (aquí la integral sobre los círculos $C_i$ recibe una señal porque si $\ell$ se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces $C_i$ se orienta en el sentido de las agujas del reloj)

$$\frac{1}{2\pi i} \left ( \int_{\partial D^2 - \bigcup_i \mathcal{A}_i} \frac{v'(s)}{v(s)} ds + \sum_{i} \int_{T_i} \frac{v'(s)}{v(s)} ds + \sum_{i} -\int_{C_i - \mathcal{A}_i'} \frac{v'(s)}{v(s)} ds \right ) = 0$$

Si escribimos $T_i = I^1_i \cup I^2_i$ donde $I^1_i$ y $I_i^2$ son las líneas paralelas que constituyen el tubo (de orientación opuesta), entonces a medida que disminuimos la anchura del tubo, es decir, que $\delta \to 0$ obtenemos

$$\int_{T_i} \frac{v'(s)}{v(s)} ds = \int_{I^1_i} \frac{v'(s)}{v(s)} ds - \int_{I^2_i} \frac{v'(s)}{v(s)} ds \to 0$$

Por lo tanto, podemos tomar el término medio para desaparecer y como dejar $\delta \to 0$ también reduce los arcos eliminados $\mathcal{A}_i, \mathcal{A}_i'$ También podemos olvidarnos de ellos. Por lo tanto, la reorganización del resto da $$\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D^2} \frac{v'(s)}{v(s)} ds = \frac1{2\pi i} \left (\int_{C_1} + \cdots + \int_{C_n} \right ) \frac{v'(s)}{v(s)} ds$$ lo que demuestra que el número de bobinado de $v$ a lo largo de $\partial D^2$ es $\iota_{p_1}(v) + \cdots + \iota_{p_n}(v)$ según sea necesario.

Answer 2

Elija números reales $0<r_1<\cdots <r_k=1$ con las siguientes propiedades:

• $V(z)\neq 0$ si $|z|=r_j$ ;
• Los puntos singulares de $V$ que se encuentran en el anillo $A_j:=\{z\in\mathbb C|r_{j}< z<r_{j+1}\}$ (definimos $A_0$ para ser la bola abierta de radio $r_1$ centrados en el origen) tienen todos el mismo módulo.

Definir $f_j:I\to\mathbb{B}^2$ para ser el bucle $f_j(t)=r_je^{2\pi it}$ . No es difícil convencernos de que la diferencia $N(V,f_{j+1})-N(V,f_j)$ de números de bobinado de $V$ es igual a la suma de los índices de $V$ en los puntos singulares de $A_j$ . Por medio de series telescópicas, obtenemos nuestros resultados.