¿Es correcta mi demostración de que el producto de espacios de cobertura es un espacio de cobertura?

Question

Dejemos que $p_1:\tilde X_1 \rightarrow X_1$ y $p_2:\tilde X_2 \rightarrow X_2$ sean dos espacios de cobertura. Demuestra: $p = p_1 \times p_2:\tilde X_1 \times \tilde X_2 \rightarrow X_1 \times X_2$ es un espacio de cobertura.

Claramente $p$ es sobreyectiva y continua, y dado $x \in X_1 \times X_2$ y un conjunto abierto $U$ s.t. $x \in U$ , $p^{-1}(U) = p_1^{-1}(U_{x_1}) \times p_2^{-1}(U_{x_2}) $ que es producto de una unión de conjuntos abiertos disjuntos y, por tanto, es una unión de conjuntos disjuntos y abiertos.

Estoy bastante seguro de que mi prueba es errónea, creo que la prueba real tiene algo que ver con los grupos fundamentales de los espacios, pero no puedo entender muy bien cómo el grupo fundamental se relaciona con el espacio de cobertura.

¿Esta prueba es errónea?

Answer 1

Esta prueba es efectivamente errónea.

Como contraejemplo, consideremos el caso en el que $\tilde X_1 = X_1 = \mathbb{R}$ y $\tilde X_2 = X_2 = \mathbb{R}$ y $p_1,p_2,p$ son simplemente mapas de identidad. En ese caso, estarías diciendo que para cualquier subconjunto abierto $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ , dejando que $V = p^{-1}(U)=U$ el conjunto $V$ puede escribirse como un producto $V = A \times B$ para algunos conjuntos $A \subset \mathbb{R}$ y $B \subset \mathbb{R}$ .

Pero esto no es posible: no todo subconjunto abierto $V \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ puede escribirse de la forma $V = A \times B$ . Piensa, por ejemplo, en el balón abierto en $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ de radio $1$ centrado en el origen $O = (0,0)$ : $$V = B(O,1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \bigm| x^2 + y^2 = 1\} \subset \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} $$ Este balón abierto no es igual a cualquier subconjunto de $\mathbb{R}^2$ de la forma $A \times B$ para cualquier $A \subset \mathbb{R}$ y $B \subset \mathbb{R}$ .

Para resumir, su prueba utiliza la afirmación de que todo subconjunto abierto del cartesiano $\tilde X_1 \times \tilde X_2$ es un producto cartesiano de un subconjunto abierto de $\tilde X_1$ veces un subconjunto abierto de $\tilde X_2$ . Esta afirmación es falsa.