Ejemplos más sencillos de variedades algebraicas complejas no isomorfas con analizaciones isomorfas

Question

Si no son propias, dos variedades algebraicas complejas pueden ser no isomorfas y, sin embargo, tener analizaciones isomorfas. He oído ejemplos informales (a menudo relacionados con los espacios de moduli), pero no estoy seguro de las referencias.

¿Cuáles son los ejemplos más sencillos de variedades algebraicas complejas no isomorfas con analíticas isomorfas?

Por "más simple", me refiero a una de las siguientes medidas.

1. (mejor) Un ejemplo cuya demostración sea lo más elemental posible, e idealmente breve. Por supuesto, esto requiere demostrar que las variedades algebraicas complejas no son isomorfas, y que las analizaciones son isomorfas.

2. Un ejemplo conocido que es sencillo de enunciar, pero que puede tener una prueba complicada. (Lo ideal es que haya una referencia).

3. Un ejemplo esperado, folclórico o conjetural.

Answer 1

Si se observan los anillos locales, es fácil construir tales ejemplos. Por ejemplo, si $X,Y$ son suaves de la misma dimensión, entonces para cualquier punto $x\in X,y\in Y$ las terminaciones de $O_{X,x}, O_{Y,y}$ son isomorfos, pero por supuesto los anillos locales algebraicos no son necesariamente isomorfos (por ejemplo, si $X,Y$ no son birracionales, entonces incluso sus campos de fracción no son isomorfos).