Demostrar que un conjunto NO es un espacio vectorial

Question

Antes de empezar, haré hincapié en que NO quieren la solución completa. Sólo quiero algunas pistas.

Demuestre que el conjunto $S=\{\textbf{x}\in \mathbb{R}^3: x_{1} \leq 0$ y $x_{2}\geq 0 \}$ con las reglas habituales de suma y multiplicación por un escalar en $\mathbb{R}^3$ NO es un espacio vectorial demostrando que al menos uno de los axiomas de los espacios vectoriales no se cumple. Dar una interpretación geométrica del resultado.

Mi solución (hasta ahora): Para demostrarlo, voy a poner un contraejemplo, he seleccionado el axioma 6 (cierre bajo multiplicación de un escalar).

$\textbf{x} = \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}$

Dejemos que $\lambda = -1, x_{1} = -2, x_{2} = 2, x_{3}=1$

$\lambda \textbf{x} = \lambda \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}$

$= -1 \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}2\\ -2\\ -1\end{pmatrix}$

Claramente, como $\begin{pmatrix}2\\ -2\\ -1\end{pmatrix} \notin S$ , como $x_{1} \nleqslant 0$ y $x_{2} \ngeqslant 0$ El axioma (Multiplicación por un escalar) no se cumple. Por lo tanto, $S$ no es un espacio vectorial.

Mis preguntas:

1. ¿Es mi solución correcta/razonable? ¿Cómo se puede mejorar? (Tenga en cuenta que soy nuevo en álgebra lineal)
2. ¿Hay más axiomas para los que no se cumple además del que he enumerado?
3. Dice que hay que dar una interpretación geométrica de este resultado. No sé cómo hacerlo. ¿Algún consejo?

Answer 1

1. Sí, su razonamiento es correcto. Antes de leer tu solución, yo también lo habría hecho así. Si quieres escribir la solución probablemente la escribiría así:

   Tenga en cuenta que $v = (1,1,1) \in S$ . Si $S$ es un espacio vectorial, entonces $-1v$ sería en $S$ . Pero $-1(1,1,1) = (-1,-1,-1)$ no está en $S$ porque la primera coordenada no es no negativa.

2. No veo ningún otro axioma que $S$ no satisface. Todas las demás formas de decir que $S$ no es un espacio vectorial me parece que se reduce a lo que tienes.

3. Ahora lo que has demostrado es que el conjunto no es cerrado bajo la multiplicación escalar. Esto significa que el conjunto $S$ no contiene todas las líneas. Intenta pensar en cómo $S$ parece. Tienes todos los puntos $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$ con $x$ y $y$ no negativo. Ahora trata de dibujar líneas que pasen por el origen.

Answer 2

Sugerencia

Para ver que $S$ no es un espacio vectorial por otro método seleccione dos vectores $x,y\in S$ tal que $x-y\not\in S$ . Cómo podemos elegir los componentes de $x$ y $y$ para encontrar el resultado deseado.

Answer 3

Su respuesta es correcta.
Todos los axiomas del espacio vectorial son: $$(V1) 0\in S \qquad (\checkmark)$$ $$(V2) a+b \in S \qquad \forall a,b\in S \quad (\checkmark)$$ $$(V3) \lambda a \in S \qquad \forall a\in S, \lambda \in K \quad (\text{f})$$ También $+$ debe ser asociativo y conmutativo y $\lambda (a+b) = \lambda a + \lambda b$ (distributivo)

Answer 4

1. Es correcto. Personalmente, yo usaría un ejemplo más sencillo, es decir, $e_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T$ .

2. ¿Cuál sería el elemento neutro aditivo? ¿Y la inversa aditiva de cualquier vector?

3. Un subespacio es un plano (no necesariamente 2D) que pasa por $0$ . Desde $0 \in S$ esto obviamente no es un avión, sino su parte. Mira más de cerca: $S$ es un...

   ...cuadrante.

Answer 5

¡Claro que sí! Un solo contraejemplo es todo lo que necesitas. Buen trabajo.

En general, los elementos de $S$ no tendrán inversos aditivos en $S$ . (¿Puede determinar las excepciones?) Por lo demás, los axiomas se cumplen.

Desde el punto de vista geométrico, te recomiendo que te centres en la falta de inversos aditivos. Tenga en cuenta que si $A$ es un set de vectores tal que cada elemento de $A$ tiene una inversa aditiva en $A,$ entonces $A$ será simétrica respecto al origen. Eso, en sí mismo, no será suficiente para hacer $A$ un subespacio vectorial, pero será necesario. Su conjunto $S$ aquí hay un octante de $3$ -Espacio. En general, un octante no será un subespacio vectorial, sino un unión de octantes puede ser. (¿Cuándo?)