Un ejercicio sobre los bifunctores de la "Teoría de las Categorías en Contexto" de Riehl

Question

Este es un ejercicio del libro de E.Riehl "Category Theory in Context" (p.48, ex.1.7.vii)

Demostrar que un bifuntor $F\colon\mathsf{C}\times\mathsf{D}\to\mathsf{E}$ determina y es determinado únicamente por:

• Un functor $F(c,-)\colon\mathsf{D}\to\mathsf{E}$ para cada $c \in \mathsf{C}$ ,

• Una transformación natural $F(f,-)\colon F(c,-) \Rightarrow F(c',-)$ para cada $f\colon c\to c'$ definido funcionalmente en $\mathsf{C}$ .

Tengo problemas para entender dos cosas con respecto a este ejercicio:

• ¿Qué es el functor $F(c,-)$ para un fijo $c \in \mathsf{C}$ ? Claramente, mapea cada $d \in \mathsf{D}$ a $F(c,d)$ pero a lo que mapea un morfismo $g\colon d\to d'$ en $\mathsf{D}$ ? A $F(1_{X},g)?$

• Dada una transformación natural mencionada $F(f,-)\colon F(c,-)\Rightarrow F(c',-)$ ¿Cuáles son sus componentes? Es decir, dado $d \in \mathsf{D}$ , que es un morfismo $F(f,-)_d\colon F(c,d)\to F(c',d)$ ?

Answer 1

Sí, a su primera pregunta, o más exactamente a $F(1_c,g)$ donde $1_c$ es el morfismo de identidad en $c$ .

Los morfismos que busca en su segundo son los $F(f,1_d)$ .