Si $|\,f^{''}(x)| \leq M$ en $[a,b]$ entonces $\big|\,f(b)-f(a)-\frac{b-a}{2}\big(\,f'(a)+f'(b)\big) \big| \leq \frac{(b-a)^2}{2}M$

Question

Si $f^{''}$ se define en $[a,b]$ y si $|f^{''}(x)| \leq M \forall x \in [a,b]$ entonces demuestre que $|f(b)-f(a)-\frac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b)) | \leq \frac{(b-a)^2}{2}M$

Mi intento Por el teorema de Taylor, $f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2} f^{''}(\zeta) , \forall\zeta \in (a,b),$ [como la segunda derivada está acotada la tercera y las derivadas superiores = 0, ya que $-M\leq{f^{''}(x)} \leq M$ , Diferenciando de nuevo $0 \leq {f^{'''}(x)} \leq 0$ ]

Poniendo esto en el problema dado arriba,

$|\frac{b-a}{2}(f'(a)-f'(b))+\frac{(b-a)^2}{2} f^{''}(\zeta)| = |\frac{b-a}{2}(f'(a)-(f'(a)+(b-a)f^{''}(\eta))+\frac{(b-a)^2}{2} f^{''}(\zeta)|=|-\frac{(b-a)^2}{2} f^{''}(\eta)+\frac{(b-a)^2}{2} f^{''}(\zeta)|\leq (b-a)^2 M$

Pero en el problema se da como $\frac{M}{2}$ . ¿se puede saber en qué me he equivocado? A primera vista, me parece que está bien

Answer 1

$$\begin{align*} \left|f(b)-f(a)-\dfrac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b))\right|&=\left|f'(\xi)(b-a)-\dfrac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b))\right|\\ &=\left|\dfrac{b-a}{2}(f'(\xi)-f'(a))+\dfrac{b-a}{2}(f'(\xi)-f(b))\right|\\ &\leq\dfrac{b-a}{2}|f''(\alpha)||\xi-a|+\dfrac{b-a}{2}|f''(\beta)||b-\xi|\\ &\leq\dfrac{b-a}{2}\left(M(\xi-a)+M(b-\xi)\right)\\ &=\dfrac{(b-a)^{2}}{2}\cdot M, \end{align*}$$ donde $\xi\in(a,b)$ , $\alpha\in(a,\xi)$ , $\beta\in(\xi,b)$ .

Answer 2

Por Teorema del resto de Taylor en forma integral , $$f (x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\int_{x_0}^x (x-t)f''(t)dt.$$ Si $x=b$ y $x_0=a$ entonces $$f(b)=f (a)+(b-a)f'(a)+\int_a^b (b-t)f''(t)\,dt.$$ Si $x=a$ y $x_0=b$ entonces $$f(a)=f (b)+(a-b)f'(b)+\int_b^a (a-t)f''(t)\,dt.$$ Por lo tanto, al restar las dos ecuaciones anteriores, obtenemos $$2(f(b)-f (a))=(b-a)(f'(a)+f'(b))+(b-a)\int_a^b f''(t)\,dt$$ y $$\left|f(b)-f(a)-\frac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b))\right| \leq \frac{(b-a)}{2}\int_a^b |f''(t)|\,dt\leq\frac{(b-a)^2}{2}M.$$