Construir una nueva función débilmente modular

Question

Dado $f$ débilmente modular de peso $k$ y de nivel $\Gamma$ , demuestran que $f^* = \overline{f(-\bar{z})}$ también es modular de peso $k$ pero ahora de nivel $\alpha^{-1}\Gamma\alpha$ donde $\alpha = \left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\end{matrix}\right)$ .

Creo que esto es bastante sencillo y que sólo estoy cometiendo un desliz algebraico, pero en realidad no puedo detectar dónde y es bastante frustrante.

Mi solución hasta ahora es la siguiente: Dejemos que $\gamma = \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\in\Gamma$, then $f*(\alpha^{-1}\gamma\alpha z) = \overline{f\left(\left(\begin{matrix}-a&b\\c&-d\end{matrix}\right)(-\bar{z})\right)} = (\overline{c(-\bar{z})-d})^k\overline{f(-\bar{z})} = (-cz-d)^k\overline{f(-\bar{z})}$

que es casi lo que necesito pero no del todo (no debería haber un menos delante de la c esencialmente). No estoy seguro de si esto es totalmente apropiado para aquí, ya que puede ser sólo un desliz algebraico - pero podría ser yo malinterpretando las definiciones de débilmente modular.

Answer 1

Aquí hay tres problemas. Dos computacionales, uno más significativo.

El error de cálculo es que de hecho, $\alpha = \alpha^{-1}$ Así que $$\alpha^{-1}\gamma\alpha = \begin{pmatrix} a&-b\\-c&d\end{pmatrix}.$$

El mayor error está en su segunda igualdad: ya que $\alpha^{-1}\gamma\alpha$ no necesita ser un elemento de $\Gamma$ no hay ninguna razón para que esta igualdad se mantenga.

Por último, observe que, en general, $$\frac{a(-z)+b}{c(-z)+d}=\gamma (-z) \ne-\gamma(z)$$

Así que tenemos,

$$\begin{align} f^*(\alpha^{-1}\gamma\alpha z) &= \overline{f\left(-\begin{pmatrix} a&-b\\-c&d\end{pmatrix}\overline z\right)}\ne\overline{f\left(\begin{pmatrix} a&-b\\-c&d\end{pmatrix}(-\overline z)\right)}\end{align}.$$

Esto debería darte suficiente para terminar.