Pregunta sencilla sobre el teorema de convergencia monótona

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias (discretas) $X_0, X_1, \dotsc$ en $E$ y $A \subseteq E$ . Sea $Y$ sea alguna otra variable aleatoria. Además, dejemos que $Z$ sea una variable aleatoria con valores en $\{0,1,\dotsc\}$

¿Es siempre cierto que

$$\mathbb{E}[\sum_{n \geq 0} 1(X_n \in A)]= \sum_{n \geq 0 } \mathbb{P}[X_n \in A] \quad (1)$$

por ejemplo, utilizando el Teorema de Convergencia Monótona?

¿Es siempre cierto que

$$\mathbb{E}[Y \sum_{n \geq 0} 1(X_n \in A)]= \sum_{n \geq 0 } \mathbb{E}[Y \cdot 1(X_n \in A)]\quad (2)$$ por ejemplo utilizando el teorema de convergencia de Montone o utilizamos la acotación de $Y$ ?

¿Es siempre cierto que $$\mathbb{E}[Y \cdot 1(Z < \infty)]=\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}[Y \cdot 1(Z=n)] \quad (3)$$ o sólo es válido utilizando la Convergencia Dominada, cuando $Y$ ¿está acotado?

Para las variables aleatorias no negativas $U_i \geq 0$ para $i=0,1,\dotsc$ ¿es siempre cierto que $$\mathbb{E}[\sum_{i=0}^{\infty} U_i] = \sum_{i=0}^{\infty} \mathbb{E}[U_i] \quad (4)$$

por el teorema de convergencia monótona? Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que quieres $X_n$ en sus sumas en lugar de $X_0$ . En fin:

Caso 1: Sí, la convergencia monótona es suficiente para demostrarlo.

Caso 2: Si $Y$ toma un signo, o más generalmente está acotado en una u otra dirección, entonces la convergencia monótona le dará esto. En general, esto puede fallar. La forma más general, pero también práctica, de comprobar esto que se me ocurre sería comprobar si $Y$ tiene una varianza finita y la suma converge en el cuadrado medio. (En particular, la suma converge en el cuadrado medio si está acotada a.s., debido a la monotonicidad). Si ambas cosas se cumplen, se obtiene lo que se quiere.

Caso 3: Creo que la situación es la misma que en el caso 2.