$V(X_1,\ldots,X_n)$ tiene el interior vacío.

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo, $n\geq 1$ un número entero y $Z=V(X_1,\ldots,X_n)\subset\mathbb{A}^n_A=\operatorname{Spec} A[X_1,\ldots,X_n]$ . Es cierto que $\mathring Z=\emptyset$ ? Seguramente este es el caso si $A$ es un campo. (Razón: Si $A$ es un campo, entonces $(X_1,\ldots,X_n)$ es un punto cerrado. Pero $\mathbb{A}^n_A$ es irreducible y, por tanto, conexo, por lo que $Z=\{(X_1,\ldots,X_n)\}$ debe tener el interior vacío).

Answer 1

Es cierto cuando $A$ es integral, o incluso irreducible, ya que se puede basar el cambio con respecto a $A\to A/\text{rad}(A)$ que es un homeomorfismo en el espacio topológico subyacente.

Si $A$ es noetheriano escribe $Y=\text{Spec A}$ tenemos $\mathbb{A}^n_Y=\mathbb{A}^n_{Y_1}\cup...\cup \mathbb{A}^n_{Y_p}$ donde el $Y_i$ son los componentes irreducibles de $Y$ . De hecho, está claro que esos son los componentes irreducibles de $\mathbb{A}^n_Y$ .

Ahora $U$ está abierto en $\mathbb{A}^n_Y$ si $U\cap \mathbb{A}^n_{Y_i}$ está abierto en cada $\mathbb{A}^n_{Y_i}$ (porque basta con comprobar el hecho correspondiente para los subconjuntos cerrados y la unión de muchos subconjuntos finitos cerrados es cerrada). Esto significa que $V(X_1,..., X_n)$ tiene el interior vacío siempre que $A$ es noetheriano.

De hecho, esto le da el resultado general como un subconjunto abierto $U$ contenida en $V(X_1,...,X_n)$ debe estar vacío cuando se restringe a $\mathbb{A}^n_Y$ donde $Y$ es un componente irreducible de $A$ y $U=\bigcup_i (U\cap \mathbb{A}^n_{Y_i})$ , independientemente de que haya un número finito de ellas.