James Wenk y yo acabamos de terminar un artículo que demuestra la conjetura de inspección de esferas de Zalgaller para curvas cerradas:
Curva cerrada más corta para inspeccionar una esfera .
Demostramos que en $R^3$ cualquier curva cerrada $\gamma$ que inspecciona la esfera de la unidad $S^2$ es decir, se encuentra fuera de $S^2$ y contiene $S^2$ dentro de su casco convexo, tiene una longitud $L(\gamma)\geq 4\pi$ . La igualdad se mantiene sólo cuando $\gamma$ se compone de 4 semicírculos de longitud $\pi$ , dispuestos en forma de costura de béisbol, como conjeturó Zalgaller en 1996.
La prueba, que ocupa 38 páginas, utiliza algunas nociones del trabajo anterior sobre este problema que había mencionado en mi último post, junto con otras ideas de la geometría integral, el análisis convexo, la teoría de la medida geométrica y la teoría de los nudos geométricos. Además, derivamos una serie de fórmulas para la eficacia de la inspección de las curvas, que pueden verificarse con la ayuda de un Mathematica cuaderno que hemos proporcionado. El planteamiento básico es el siguiente.
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Dejemos que $\gamma\colon[a,b]\to R^3$ sea una curva cerrada rectificable que inspeccione $S^2$ . Como había mencionado en mi último post, el horizonte de $\gamma$ se define como $$ H(\gamma):=\int_{p\in S^2} \#\big(\gamma^{-1}(T_pS^2)\big)\, dp, $$ es decir, la medida en $S^2$ de todos los puntos $p$ contados con multiplicidad donde el plano tangente $T_p S^2$ se cruza con $\gamma$ . El horizonte de un segmento de línea, por ejemplo, es el área de la región ilustrada en la imagen anterior. En el presente documento definimos el (inspección) eficacia de $\gamma$ como $$ E(\gamma):=\frac{H(\gamma)}{L(\gamma)}. $$ Queremos demostrar que $L(\gamma)\geq 4\pi$ . Desde $\gamma$ está cerrado, $H(\gamma)\geq 8\pi$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $E(\gamma)\leq 2$ . Para ello, observamos que, dado que $H$ es aditivo, para cualquier partición de $\gamma$ en subconjuntos $\gamma_i$ , $i\in I$ , $$ E(\gamma)= \sum_i \frac{H(\gamma_i)}{L(\gamma)}=\sum_i \frac{L(\gamma_i)}{L(\gamma)} E(\gamma_i)\leq \sup_i E(\gamma_i) . $$ Así que la clave para resolver el problema sería construir una partición con $E(\gamma_i)\leq 2$ para todos $i\in I$ .
Para construir la partición deseada podemos suponer que $\gamma$ tiene una longitud mínima. Entonces conectamos todos los puntos de $\gamma$ al origen $o$ de $R^3$ para obtener una superficie cónica. Esta superficie se puede desarrollar isométricamente en el plano para obtener una curva $\tilde\gamma\colon[a,b]\to R^2$ que se llama (cono) que se despliega de $\gamma$ . Esta operación se remonta a un trabajo de Cantarella, Kusner y Sullivan sobre el grosor de los nudos. Resulta que $$ E(\gamma)=E(\tilde\gamma). $$ Además, como $\gamma$ es mínimo, se deduce que $\tilde\gamma$ es localmente convexo con respecto a a $o$ . En consecuencia, admite una partición en segmentos que llamamos espirales que son subconjuntos máximos de $\tilde\gamma$ con una distancia monótona de $o$ . Demostramos que la eficiencia de cualquier espiral es como máximo $2$ con lo que se obtiene la desigualdad deseada $L(\gamma)\leq 4\pi$ . La prueba se basa en un cálculo de $E$ para segmentos de línea, aproximaciones poligonales y un procedimiento variacional.
Los argumentos anteriores llenan la primera mitad del documento. La segunda mitad está dedicada a caracterizar el caso en que $L(\gamma)=4\pi$ . Esta parte del documento es bastante más analítica y requiere estimaciones más precisas de la eficiencia. La idea principal es que si $L(\gamma)=4\pi$ entonces $E(\gamma)=2$ que a su vez da como resultado que $E(\tilde\gamma_i)=2$ para todas las espirales en el desarrollo de $\gamma$ . Demostramos que $E(\tilde\gamma_i)=2$ sólo cuando $\tilde\gamma_i$ tiene una distancia constante $\sqrt2$ de $o$ que a su vez da como resultado que $\gamma$ debe tener una distancia constante $\sqrt2$ de $o$ también, o se encuentran en una esfera de radio $\sqrt2$ . Por último, demostramos que $\gamma$ debe estar compuesto por $4$ semicírculos utilizando una fórmula de tipo Crofton de Blaschke-Santalo para la longitud de las curvas esféricas, y una técnica de las pruebas de la clásica $4$ teorema del vértice, que ha sido desarrollado por Umehara y Thorbergsson.
En definitiva, tal y como había anticipado al final de mi último post, la demostración del resultado completo sí que requirió un esfuerzo considerable más allá de las estimaciones obtenidas en el trabajo anterior. Las conjeturas de Zalgaller para Abrir Las curvas de inspección siguen sin resolverse. También es natural considerar versiones de mayor dimensión del problema. Algunas de las técnicas comentadas anteriormente se aplican en todas las dimensiones, pero se necesitarían más ideas para ampliar el resultado.
Actualización (julio de 2021): La prueba se ha simplificado y el artículo, acortado a 25 páginas, ha sido aceptado para su publicación en Diario de Crelle .
