Dejemos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua y defina el operador de multiplicación $M_{f}:\text{dom}(M_{f})\subset L^{2}(\mathbb{R}) \rightarrow L^{2}(\mathbb{R})$ como $M_{f}g = fg$ para todos $g \in \text{dom}(M_{f}) := \left\{g \in L^{2}(\mathbb{R}): fg \in L^{2}(\mathbb{R})\right\}$ . Demuestre que si $f$ está acotada y es estrictamente monótona, entonces $\text{sup}_{x\in \mathbb{R}}f(x) \in \sigma_{c}(M_{f})$ . Aquí $\sigma_{c}(M_{f})$ denota el espectro continuo de $M_{f}$ .
Esto es lo que he hecho: Sé que $\sigma(M_{f}) = \overline{\left\{f(x) : x \in \mathbb{R}\right\}}$ . Desde $M_{f}$ es autoadjunto, también sé que $\sigma_{r}(M_{f}) = \emptyset$ y $\sigma_{p}(M_{f}) = \left\{\lambda \in \mathbb{R} : \mu\left(\left\{x \in \mathbb{R} : f(x) = \lambda\right\}\right)>0\right\}$ . Así que termino con $\sigma_{c}(M_{f})= \sigma(M_{f})\setminus\sigma_{p}(M_{f})$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\text{sup}f \in \sigma_{c}(\mathbb{R})$ ¿Alguna idea?
