Variante del problema de Monty Hall ( $4$ Puertas, $2$ Premios)

Question

Me surgió la siguiente pregunta como parte de un curso de Finanzas que estoy haciendo. No me cuesta demasiado los problemas de Monty Hall en los que hay $3$ puertas, pero esta con $4$ puertas ( $2$ con premios y $2$ con Cabras, NINGUNA vacía) estoy perplejo incluso después de varios intentos:

"Consideremos una versión del problema de Monty Hall donde hay $4$ puertas. Hay cabras detrás $2$ de las puertas y valiosos premios detrás de la otra $2$ puertas. El juego se desarrolla de la siguiente manera:

• Primero elige una puerta.
• Antes de que se abra la puerta elegida, Monty Hall abre una de las otras $3$ puertas y revela una cabra detrás de esa puerta.
• Ahora le da la oportunidad de cambiar de opinión y seleccionar otra puerta.
• Su puerta elegida se abre ahora y se revela su premio. Si te comportas de forma óptima, ¿cuál es la probabilidad de que ganes uno de los valiosos premios?"

¿Alguien se ha encontrado con esto antes? ¿Existe una procedimiento/fórmula ¿para resolverlo? ¿Y podemos generalizar la fórmula (digamos para $n$ puertas, $r$ premios, etc.)?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Supongamos que tenemos $n$ puertas y $1\le k<n-1$ premios. Puedes elegir una puerta, y después de abrir otra puerta (sin premio), puedes cambiar a otra puerta. En este caso, la probabilidad inicial de ganar es $p_0=k/n$ . La probabilidad de ganar si se cambia puede calcularse como sigue: \begin{align} p_{1}&=\frac{k-1}{n-2}\times p_0+\frac{k}{n-2}\times (1-p_0) \\ &=\frac{k(k-1)}{n(n-2)}+\frac{k(n-k)}{n(n-2)} \\ &=\frac{k(n-1)}{n(n-2)}. \end{align} Siempre es rentable cambiar porque $$ \frac{k(n-1)}{n(n-2)}>\frac{k}{n}=p_0. $$