Demuestre este teorema relacionado con las pruebas de especificación

Question

No soy matemático y necesito demostrar lo que dice este teorema. Creo que es fácil y sé cómo funciona, pero en definitiva no soy demasiado riguroso para hacer una demostración. ¿Alguien puede ayudarme?

Lo anuncio:

Si la estadística de la prueba tiene una distribución continua, entonces bajo H0 : = 0, el valor p tiene una distribución Uniforme[0, 1]. Por lo tanto, si rechazamos H0 cuando el valor p es menor que , la probabilidad de un error de tipo I es .

• Por lo tanto, cuando H0 es verdadera, el valor p es como un sorteo de un Uniforme[0, 1].

• Por otro lado, si H0 no es cierta, la distribución del valor p tiende a concentrarse más cerca de 0.

• Un valor p grande puede ocurrir por dos razones:

  • H0 es verdadera, o
  • H0 es falsa, pero la prueba tiene poca potencia

• No confunda el valor p con P(H0 | datos). El valor p no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Tu teorema se deriva básicamente del resultado de la estadística teórica de que, para una variable aleatoria continua X con función de distribución acumulativa F, F(X) tiene una distribución uniforme. Eso es porque su valor p es $1-F_s(S)$ , donde $S$ es la estadística de la prueba y $F_s$ es la distribución de $S$ bajo la hipótesis nula.

La prueba es la siguiente:

Supongamos que $X$ tiene cdf $F$ . Entonces

$$ Prob(F(X) \leq t) = Prob(X \leq F^{-1}(t))=F(F^{-1}(t))=t$$

Y esa es la definición de un uniforme: $Prob(U \leq t) = t$ , para $t \in [0.1]$ .

¿Por qué importa que $X$ ser continua? Si $X$ tiene masas puntuales discretas de probabilidad, entonces $F$ puede no tener una inversa para cada valor posible de $t$ en el intervalo de la unidad.

Una variable aleatoria continua que se comporta bien tendrá una fdc estrictamente monótona sobre su dominio, y la inversa estará bien definida.

No estoy tan seguro de la afirmación de que la distribución del valor p tiende a 0 siempre y en todas partes cuando el nulo es falso. Consideremos una tabla de contingencia con recuentos de celdas demasiado regulares. El valor de chi-cuadrado será muy pequeño y el valor p cercano a uno.

Admito que es un ejemplo artificial, y funciona en parte porque la prueba de chi-cuadrado es unilateral.

Yo matizaría tu punto sobre las razones de los grandes valores p añadiendo "la prueba no fue diseñada para detectar la alternativa que realmente ocurrió". En efecto, ése es el problema de la prueba de chi-cuadrado en una tabla de contingencia: no está diseñada para detectar datos "amañados" con distribuciones de celdas demasiado uniformes.