Producto de medidas exteriores métricas

Question

El problema siguiente se ha pedido recientemente, pero ya, como un usuario ingenuo, me queme (bien chamuscado tal vez) porque hice la pregunta en el lugar equivocado. Así que si esto se parece a una pregunta redundante ... disculpe (como Steve Martin diría)!

Problema: Demostrar que el producto de dos métrica externa de medidas (también conocido como medidas de Borel en un espacio métrico) es de nuevo una métrica externa de la medida.

¿Alguien sabe si el problema es válida?

Las sugerencias dadas ya en este foro, sólo funcionan para el separables caso, pero no tengo una solución para el caso general.

He encontrado el problema originalmente en el texto por Munroe (Medida y la Integración de 1953). Parecía obvio que el enfoque de trabajo por lo que añadió que sin pensarlo más a nuestro libro (Análisis Real, Bruckner/Bruckner/Thomson, 1996). Hemos recibido algunos comentarios valiosos a partir de muchas fuentes, en su mayoría de R. B. Burckel que señaló, entre otras muchas cosas que este problema no es sencillo y puede ser malo. Para la segunda edición de 2008, dejé el problema (ya que es muy interesante), pero se incluyó una nota a pie de página para indicar que hubo algunas dudas.

Nadie tiene una respuesta definitiva?

El problema aparece como Ejercicio 6:1.5. en nuestra 2ª edición. Usted puede obtener un PDF desde el sitio web classicalrealanalysis.com.

Espero oír de alguien (no, espero, de alguien asignado a este problema, ya que apareció en nuestra primera edición--si es así la culpa Munroe-por favor).

Brian

Answer 1

Deje $\kappa$ ser real con valores medibles con un testigo de probabilidad de medida $\mu$. Poner discretos métrica en $\kappa$. Por lo $(\kappa, \mu)$ es una métrica externa de la medida (siendo un total de medir). Forma del producto $(\kappa^2 = \kappa \times \kappa, \nu = \mu \times \mu)$ en el sentido de Defn 6.1 de la OP. Deje $A = \{(\alpha, \beta) : \alpha \leq \beta < \kappa\}$. A continuación, para cada $\mu \otimes \mu$medible de establecer $W$ si $W \supseteq A$, $(\mu \otimes \mu)(\kappa^2 \setminus W) = 0$ (del teorema de Fubini). Por lo $\nu(A) = 1$. Del mismo modo, $\nu(\kappa^2 \setminus A) = 1$. Por lo $(\kappa^2, \nu)$ no es una métrica externa de la medida.

Voy a editar cuando tengo un ZFC ejemplo.

Edit: he Aquí un boceto de la necesidad de bienes con valores medibles cardenales (rvm). Suponga que no hay rvm. Dado $(X, \mu)$ donde $X$ es la métrica y $\mu$ es un Borel probabilidad de medir, considerar el subconjunto $Y = \{x \in X : (\forall r > 0)(\mu(B(x, r)) > 0)\}$ ($B(X, r)$es la bola abierta centrada en $x$ de radio $r$). $Y$ es claramente separables. También, $X \setminus Y$ $\mu$nulo (ya que de lo contrario hay un rvm). Por lo $\mu$ se apoya en una separables subespacio de $X$ y podemos argumentar como en el caso de la métrica externa de medidas métrico separable espacios.