Encontrar índices de convergencia

Question

Estoy haciendo algunos problemas de libros de texto en Burden y Faires Análisis numérico Cuando me encontré con esta pregunta que no entendía cómo hacer.

¿Cómo puedo encontrar la tasa de convergencia para

$$\lim_{n\to\infty}\sin\dfrac{3}{n}=0$$

Sé que es verdad, porque $\dfrac{3}{n}$ se destina a $0,$ y $\sin0=0$ pero no conozco el método/procedimiento para calcular el orden de convergencia para esto. Cualquier ayuda o consejo sería apreciado. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $x_n = \sin \frac{3}{n}$ . Sabemos que $x_n \to 0$ .

Un enfoque consiste en calcular $\mu = \lim_n \frac{|x_{n+1}-L|}{|x_{n}-L|}$ .

Aquí tenemos $\mu = \lim_n \left| \frac{ \sin\frac{3}{n+1}}{\sin \frac{3}{n}} \right| = \lim_n \left| \frac{ \frac{3}{n+1}}{ \frac{3}{n}} \right| = 1$ por lo que tenemos lo que se conoce como convergencia sublineal.

Answer 2

Como usted dice, para los pequeños $x$ tenemos $\sin x \approx x$ Así pues, para los grandes $n$ tenemos $\sin \frac 3n \approx \frac 3n$ . Entonces, cualquier terminología que tenga para $\frac 3n$ acercándose a cero como $n$ va al infinito.