¿Cómo puedo encontrar la inversa de una matriz de 3 x 3?

Question

$$ A= \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

¿Puede alguien indicarme la mejor manera de enfocar esto? ¿Debo utilizar el pivote? He intentado utilizar la fórmula, pero creo que sólo funciona para matrices de 2 x 2.

Answer 1

Como proceso fácil de entender, puede observar que $A.A^{-1} = I$ y luego realizar operaciones de fila paralelas en $A$ y $I$ para transformar esto en $I.A^{-1}=X$ , donde $X$ es el resultado de las mismas operaciones en $I$ que transformó $A$ en $I$ . Se puede comprobar, mediante la consideración de la acción de la multiplicación de matrices, que el efecto del escalado de filas o de las combinaciones mantiene la igualdad a través de cada transformación.

Por conveniencia durante el proceso de eliminación, esto se puede escribir como una matriz aumentada $[A\mid I]$ :

$$\begin{align} & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{$ A\ndice I $}\\ & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{add r1 to r2}\\ & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{add r2 to r1}\\ & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{mult r2 by -1}\\ & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{add 2xr2 to r3}\\ & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{add r3 to r1} \\ & \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ \end{array} \right] \tag{mult r1 by 0.5}\\ \text{so }&A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -0.5 & 0.5 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align}$$

Hay muchos métodos más sofisticados, pero creo que ésta es una buena herramienta básica para empezar.

Answer 2

$\begin {bmatrix} 2&1&-1\\-2&-2&1\\0&-2&1 \end {bmatrix}$

También podemos resolverlo usando determinantes-

Cálculo del determinante de la matriz

Dejemos que $A=2[-2+2]-1[-2]-1[4]$

$=2-4=-2$

Cálculo de la matriz de menores

$\begin {bmatrix} -2+2&&-2-0&&4-0\\1-2&&2-0&&-4-0\\1-2&&2-2&&-4+2 \end {bmatrix}$

$\begin {bmatrix} 0&-2&4\\-1&2&-4\\-1&0&-2 \end {bmatrix}$

Convertir la matriz de menores en matriz de cofactores.

$\begin {bmatrix} 0&2&4\\1&2&4\\-1&-2&-2 \end {bmatrix}$

Encontrar el adjunto (Franspose) de una matriz.

$\begin {bmatrix} 0&1&-1\\2&2&0\\4&4&-2 \end {bmatrix}$

Encontrar la inversa de una matriz

Inversa $=\dfrac{1}{Det\,A}\;Adj\,A$

$\Rightarrow\dfrac{1}{-2}\begin {bmatrix} 0&1&-1\\2&2&0\\4&4&-2 \end {bmatrix}$

$\Rightarrow\begin {bmatrix} 0&&-0.5&&0.5\\-1&&-1&&0\\-2&&-2&&1 \end {bmatrix}$