¿Existe una forma cerrada o más limpia de escribir una función que satisfaga $\frac{d^nf(x)}{dx^n}|_{x=0}=f(n)$ para todos $n$ ?

Question

Teniendo en cuenta lo siguiente, y suponiendo que $f(x)$ es infinitamente diferenciable: $$\frac{d^nf(x)}{dx^n}\Bigg|_{x=0}=f(n)$$ Qué funciones $f$ ¿podría satisfacer esta ecuación? ¿Hay alguna función de $f$ tiene una forma cerrada, o si no tiene una forma que es sólo una forma ODE normal?

Answer 1

Dejemos que $f(x)=a^{x+1}$ , donde $a$ satisface $\ln(a)=a$ . Entonces $f^{(n)}(0)=\ln^n(a) a^{1}=a^{n+1}=f(n)$ según se desee. Nótese que $a$ será aquí un número complejo, explícitamente en términos de la W de Lambert: $a=e^{-W(-1)}\approx 0.318+1.337i$ .