Diagonalizar la matriz $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ y encontrar $B^3=A$ .
He derivado $A \sim \text{diag}(1,3)$ pero tengo problemas para encontrar alguna $B$ . Intenté resolverlo escribiendo $B= \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ Pero, ¿está bien resolver el problema de esta manera?
Los valores propios son $1,3 $ claramente. Por tanto, es diagonalizable (valores propios distintos).
Y así, sale $P$ tal que
$$A=P\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)P^{-1}.$$
Ahora necesitamos $B$ tal que $B$ tal que $B^3=A$
Supongamos que existe tal $B$ entonces, $$B^3=A=P\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)P^{-1}$$
Por lo tanto, $$B=P\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)^{\frac 1 3}P^{-1}$$
$$=P\left(\begin{array}{cc}1^{\frac 1 3}& 0\\ 0& 3^{\frac 1 3}\end{array}\right)P^{-1}$$
En primer lugar, hay que tener en cuenta que, si $A$ fueran diagonales, la respuesta sería fácil: simplemente tomaríamos $B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \sqrt[3]{3}\end{pmatrix}$ . Sin embargo, como sólo tenemos $$ A = P \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} P^{-1} $$ para alguna matriz invertible $P$ (que espero que hayas calculado; sus columnas son los vectores propios de $A$ ), tenemos que conjugar esta respuesta con $P$ .
La forma sistemática de resolver este problema es mediante la diagonalización, tal y como muestra BaronVT.
En este caso, sin embargo, puede encontrar una solución para $B$ con un poco de conjetura. No con $$B=\pmatrix{1&x\cr0&3}\ ,$$ porque eso dará $$B^3=\pmatrix{1&?\cr0&27\cr}$$ que ciertamente no puede ser igual a $A$ . Pero si se calcula el cubo de $$B=\pmatrix{1&x\cr 0&{\root3\of3}\cr}\ ,$$ le resultará bastante fácil determinar el valor de $x$ que hace que $B^3=A$ .
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