Si $M$ es positiva definida, entonces $\operatorname{det}{(M)}\leq \prod_i m_{ii}$

Question

En el artículo de Wikipedia sobre matrices definidas positivas afirman que si $M$ es positiva definida, entonces el determinante de $M$ está limitada por el producto de sus entradas diagonales. ¿Cómo podemos demostrarlo?

Ideas: La suma de las entradas diagonales de $M$ es la traza, que también es la suma de los valores propios. El producto de los valores propios es el determinante. Todas las entradas diagonales de $A$ debe ser real y estrictamente positivo. También tenemos $|m_{ij}|\leq \sqrt{m_{ii}m_{jj}}\leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ . Hasta ahora nada funciona...

Podríamos intentar escribir la matriz de Gram $m_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle$ y luego $\prod_i m_{ii} = \prod_i \|v_i\|^2$ . Ahora tendríamos que demostrar que el determinante, que es un polinomio en las entradas de $v_i$ es menor que $\prod_i \|v_i\|^2$ de alguna manera.

Answer 1

Si $M$ es un $n\times n$ Hermitiana y definida positiva, tiene una factorización Cholesky: existe una matriz no singular (el resultado es trivial si $M$ eran singulares, es decir, semidefinidas positivas) matriz triangular (elige una superior) $U$ tal que $M=U^*U$ . Ahora: $$ \det(M)=\det(U^*U)=\det(U^*)\det(U)=\overline{\det(U)}\det(U)=|\det(U)|^2. $$ Ahora utilice la desigualdad de Hadamard que establece que un $n\times n$ matriz cuadrada $P=[p_1,\ldots,p_n]$ ( $p_i$ son las columnas de $P$ ) satisface $|\det(P)|\leq \prod_{i=1}^n\|p_i\|_2$ . Utilícelo en $U=[u_1,\ldots,u_n]$ : $$ |\det(U)|\leq\prod_{i=1}^n\|u_i\|_2. $$ Ahora, ¿cuál es la entrada diagonal $m_{ii}$ de $M$ ? Bueno, es el producto $m_{ii}=u_i^*u_i=\|u_i\|_2^2$ . Así que: $$ \det(M)=|\det(U)|^2\leq\prod_{i=1}^n\|u_i\|_2^2=\prod_{i=1}^n m_{ii}. $$