pregunta sobre esta línea integral si es exacta

Question

Este formulario $\omega=-\frac y{x^2 + y^2}dx + \frac x{x^2 + y^2}dy$ que no está definida en el origen, no es exacta en todo el plano x-y.

pero cuando y no es cero , $\omega=d(-\arctan(x/y))$ ,

mi pregunta es

cuando se considera un círculo cuyo centro está en el eje x y el círculo no contiene el origen, por ejemplo $(x-2)^2+y^2=1$ entonces la integral a lo largo de este círculo parece ser cero. (No lo he calculado, pero por simetría parece lo mismo que la integral a lo largo de $x^2+(y-2)^2=1$ Entonces, ¿es siempre cero para todas las curvas cerradas que cruzan el eje x y no contienen el origen? Si es cierto, cómo utilizar el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea para calcular $\int_{C}\omega =\arctan(B)-\arctan(A)$ mientras que los puntos B y A están en $x$ -eje donde $\arctan$ no está definido.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}$ Si $$ \omega = \frac{-y\, dx + x\, dy}{x^{2} + y^{2}},\quad (x, y) \neq (0, 0), $$ y si $\theta$ es una elección continua del ángulo polar en un conjunto abierto $G$ que no contiene el origen, tenemos $\omega = d\theta$ en $G$ .

Tenemos $\omega = d(-\arctan(x/y))$ cuando $y \neq 0$ pero el dominio de la "función potencial" $-\arctan(x/y)$ es la unión de dos semiplanos abiertos disjuntos, y $-\arctan(x/y)$ no tiene una extensión continua a un dominio conectado.

La "rama principal" del ángulo polar $\theta$ definida fuera del eje horizontal no negativo, viene dada, en cambio, por $$ \theta(x, y) = \begin{cases} \arctan(y/x) & 0 < x, \\ \arccot(x/y) & 0 < y, \\ \arccot(x/y) - \pi & y < 0. \end{cases} $$ (Se puede, y se debe, comprobar que dos de estas fórmulas coinciden en los puntos en los que sus dominios se solapan. Una ventaja conceptual de dar dominios superpuestos es que la suavidad es evidente).

Si ejecutas tu argumento con esta definición (o una equivalente) de ángulo polar, se restablece el orden en el universo matemático.