Libro de mecánica clásica sin coordenadas

Question

Soy un estudiante de posgrado en matemáticas al que le gustaría aprender algo de mecánica clásica. Sin embargo, hay una advertencia: no me interesa el enfoque de coordenadas estándar. No puedo evitar pensar en los campos que surgen en la física como secciones de haces vectoriales (o quizás haces principales) y me encantaría un enfoque de la mecánica clásica o lo que sea que aprovechara esto.

Ahora las preguntas:

1. ¿Hay algún libro de texto que recomiende que plantee las construcciones en mecánica clásica a través de haces sin apelar a las funciones de transición?
2. ¿Cuáles son los inconvenientes de este enfoque, aparte del hecho de que hace que los cálculos sean menos factibles? (si es que lo hace)
3. ¿Existen beneficios de pensar en las cosas de esta manera, es decir, sería beneficioso para alguien que intenta aprender este material hacerlo de esta manera?

Answer 1

1.

Estoy enamorado de Fecko's Geometría diferencial y grupos de Lie para físicos . A pesar de no tratarse sólo de mecánica (sino de más o menos toda la física teórica moderna rudimentaria), trata tanto el formalismo lagrangiano como el hamiltoniano. Además, proporciona innumerables ejercicios (con buenas pistas) para que realmente se pueda entender la materia.

2.

No se me ocurre ningún inconveniente importante. Por supuesto, si el problema no tiene simetría a veces no tienes más remedio que volver a unas coordenadas y resolver numéricamente. Pero esto probablemente no sea un problema para ti porque supongo que lo primero que quieres es entender problemas físicos con cierta estructura.

3.

Los beneficios son innumerables. Por enumerar sólo algunas de ellas.

1. la relación con las simetrías y las cantidades conservadas se hace evidente. El teorema de Noether en el formalismo hamiltoniano es un enunciado tan asombrosamente simple (el hamiltoniano es constante para el flujo de simetría si y sólo si el generador de la simetría es constante para el flujo hamiltoniano) que uno tiene que preguntarse a dónde fueron a parar todos los largos cálculos de coordenadas.

2. Los cálculos no sólo son breves, sino que también se obtienen valiosos conocimientos geométricos, por ejemplo, sobre el flujo de la configuración en el colector.

3. Es un hermoso formalismo.

4. No sé los demás, pero siempre que tengo que calcular en coordenadas me pongo nervioso. Puedo calcular los resultados, pero después de algunas páginas, cuando la mayoría de las cantidades se cancelan misteriosamente, no sabes realmente por qué lo que has derivado es cierto. Así que vuelves a la geometría y he aquí que la derivación es sólo unas pocas líneas y obvia. Por supuesto, ahora estoy exagerando, pero así es como me siento.

5. Es la base de toda la física moderna. Si los cuatro puntos anteriores eran ciertos en la mecánica clásica, lo son aún más cuando se trata de cosas como las teorías gauge (y ahí es donde sale a relucir toda la belleza y el poder de las matemáticas).

Answer 2

Un libro clásico en esta línea es

Métodos matemáticos de la mecánica clásica . V. I. Arnold. Graduate Texts in Mathematics vol. 60, Springer, Nueva York, 2000. Disponible, por ejemplo aquí .

Este libro es matemáticamente muy formal y muy claro; me encantó cuando estudié mecánica analítica porque evita las manchas de rigor de los filicistas y presenta una estructura clara y coherente. No empieza con un Gran Principio (es decir, estas son las ecuaciones de Hamilton en forma simpléctica y veamos cómo se puede construir la mecánica experimental a partir de ellas), sino que formula la teoría básica de forma muy limpia, y a partir de ahí va subiendo en abstracción.

Answer 3

La historia no es muy larga. Un colector simpléctico es un colector $X$ con una dos formas cerradas no degeneradas, $\omega$ . Dado esto, a partir de una función $h$ ("Hamiltoniano") podemos construir un campo vectorial $v$ por $\omega(v,-) = dh$ .

Flujo por $v$ define las trayectorias clásicas. (Nótese que no hemos utilizado una métrica sobre $X$ es decir $v$ NO es el gradiente de $h$ .) De hecho, $h$ permanece constante (se conserva) en el flujo, ya que $v(h) = \omega(v,v) = 0.$ Tenga en cuenta también ${\mathcal L}_v \omega = 0$ , lo que significa $\omega$ se conserva en el flujo -- en particular, también la fase de Liouville $\omega^{\wedge n}$ .

A modo de ejemplo, tomemos $X$ para ser el espacio cotangente $T^*({\mathbb R}^n)$ con coordenadas $x$ (posición) y $y$ (impulso), con $\omega = {\rm d}x \wedge {\rm d}y$ . Tome $h = y^2/2 + V(x)$ es decir, KE + PE. Entonces $v = y {\partial \over \partial x} - V' {\partial \over \partial y}$ por lo que las ecuaciones de flujo son $\dot{x} = y$ , $\dot{y} = -V'$ o $\ddot{x} = -V'$ La ley de Newton.

Answer 4

En cuanto a la respuesta 3, depende de la razón por la que quieras aprender esta materia. Para mí, el punto de vista moderno es importante porque es muy elegante y generalizable (se puede "hacer" mecánica clásica en cualquier variedad de Poisson). También da lugar a matemáticas muy interesantes. Por ejemplo, la evolución de un observable viene dada por $f' = \{H,f\}$ donde $H$ es la función hamiltoniana y $\{,\}$ es el corchete de Poisson. En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, un observable (representado por un operador $A$ ) evoluciona según $A' = [H,A]$ donde $H$ es el hamiltoniano mecánico cuántico y $[,]$ es el soporte de Lie (conmutador). Este parecido ha llevado a cosas como la teoría de la deformación y la cuantización.

Answer 5

Recomiendo un libro reciente de Leon Takhtajan, "Quantum mechanics for mathematicians". Comienza con una introducción a la mecánica clásica dirigida a los matemáticos y explica el enfoque sin coordenadas, entre otras cosas.