Demostrar que $\binom{2n}{n}>\frac{4n}{n+1}\forall \; n\geq 2, n\in \mathbb{N}$

Question

Demostrar que $$\binom{2n}{n}>\frac{4n}{n+1}\forall \; n\geq 2, n\in \mathbb{N}$$

$\bf{My\; Try::}$ Utilizando $$(1+x)^n = \binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+........+\binom{n}{n}x^n$$

y $$(x+1)^n = \binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-1}+........+\binom{n}{n}$$

Ahora los coeficientes de $x^n$ en $\displaystyle (1+x)^{2n} = \binom{2n}{n} = \binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\binom{n}{2}^2+.....+\binom{n}{n}^2$

Usando ahora $\bf{Cauchy\; Schwarz}$ Desigualdad

$$\left[\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\binom{n}{2}^2+.....+\binom{n}{n}^2\right]\cdot \left[1^2+1^2+....+1^2\right]\geq \left[\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+.....+\binom{n}{n}\right]^2=2^{2n}=4^n>4n\forall n\geq 2,n\in \mathbb{N}$$

Así que $$\binom{2n}{n} = \binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\binom{n}{2}^2+.....+\binom{n}{n}^2>\frac{4n}{n+1}\forall n\geq 2,n\in \mathbb{N}$$

Mi pregunta es, si mi prueba es correcta, si no es así, cómo puedo resolverlo.

Además, explique cualquier forma más corta, gracias

Answer 1

Demostramos el límite más fuerte $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ que es mayor que $\frac{4}{n+1}$ para todos $n \geq 2$ .

Tenga en cuenta que el $2n+1$ coeficientes binomiales $\binom{2n}{0}$ , $\binom{2n}{1}$ , ..., $\binom{2n}{2n}$ tienen una media $$ \frac{\binom{2n}{0} + \binom{2n}{1} + \ldots + \binom{2n}{2n}}{2n+1} = \frac{2^{2n}}{2n+1} = \frac{4^n}{2n+1}. $$ Desde $\binom{2n}{n}$ es el mayor de estos coeficientes binomiales, seguramente está "por encima de la media": $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ .

Answer 2

La prueba es correcta. Me ha gustado especialmente cómo has demostrado la identidad que implica los cuadrados de los coeficientes del binomio.

Answer 3

Imagina una población, $P$ , que consiste en $n$ hombres y $n$ mujeres. Se le ha encomendado la tarea de reunir un comité de $n$ personas de $P$ . No hay restricciones en cuanto a la composición del comité (por ejemplo, puede ser unisex). ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

Alinea a los hombres en una fila y a las mujeres en otra. Puedes crear un comité formado por todos los hombres. Puedes crear una comisión formada por todas las mujeres. Puedes crear una comisión formada por todas las mujeres en los lugares Impares y todos los hombres en los lugares Pares. Puedes crear una comisión formada por todos los hombres de los lugares Impares y todas las mujeres de los lugares pares.

Acabamos de enumerar cuatro posibles comisiones. No se trata necesariamente de una lista exhaustiva de todas las comisiones posibles, pero es suficiente para que podamos afirmar que $$ \binom{2n}{n} \geq 4. $$

Pero $$ 4 = \frac{4n}{n} > \frac{4n}{n+1}. $$

Answer 4

Probablemente se pueda acortar utilizando la inducción: $$\binom{2(k+1)}{k+1)}=\binom{2k}k\cdot \frac{(2k+1)(2k+2)}{k+1}\\ >\frac{4k(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^2}$$ No es muy difícil demostrar que la fracción final es mayor que $\frac{4k+4}{k+2}$ .

Answer 5

Algunos otros enfoques me parecen un mazo, ya que esencialmente hay que demostrar que el coeficiente binomial central supera $4$ lo cual es cierto para $2n=4$ .

¿Es realmente necesario demostrar que los coeficientes centrales son crecientes?

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En caso afirmativo, $$\binom{2n+2}{n+1}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}\binom{2n}n$$

o simplemente invocar la identidad de Pascal que muestra que el elemento central al menos se duplica en cada segunda fila.

Obsérvese que el primer producto muestra que el valor es asintóticamente mutiplicado por $4$ en una de cada dos filas.