Cómo encontrar el máximo y el mínimo local de $f(x)=x+\sin(2x)$ limitado por el intervalo $-\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{2\pi}{3}$ ?

Question

Encuentre el máximo y el mínimo local de $y=x+\sin(2x)$ entre $-\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{2\pi}{3}$ .

Lo que he hecho hasta ahora:

$f'(x) = 1+2\cos(2x)$ y $f''(x)=-4\sin(2x)$ .

Answer 1

En primer lugar, encontrar donde la derivada es cero ( $y'=1+2\cos(2x)=0$ ).

$$1+2\cos(2x)=0$$ $$2\cos(2x)=-1$$ $$\cos(2x)=-\frac{1}{2}$$ $$2x=-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$$ (dentro de los límites) $$x=-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$$ Comprobando la segunda derivada, se puede encontrar que $x=-\frac{\pi}{3}$ es el mínimo local y $x=\frac{\pi}{3}$ es el máximo local.

Answer 2

Fijando la primera derivada a cero y resolviendo para $x$ $$1 + 2 \cos 2x =0 \to x =\pm \frac {\pi}{3},\pm \frac {2\pi}{3}...$$

Así que las raíces de las ondas sinusoidales se colocan con período constante

La segunda derivada tiene signos negativos, positivos, negativos, positivos, negativos alternando los signos para que desde $ x=0$ se obtienen sucesivamente máximos, mínimos, máximos, mínimos, máximos...extremos después de enchufar las raíces como se muestra.