¿Cuál es la generalización de la fórmula del Teorema 2 de Chung y Feller a números Impares de pasos?

Question

En su artículo clásico sobre las fluctuaciones en el lanzamiento de monedas Sobre las fluctuaciones en el lanzamiento de monedas Chung y Feller dan una fórmula precisa para la probabilidad condicional del número de "lados" positivos de un paseo aleatorio con un número par de pasos, dado un resultado particular para el punto final. $$ \mathbf{P}\left(\sum_{j=1}^{2n} \mathbf{1}_{(0,\infty)}\left(\frac{\mathsf{X}_{j-1}+\mathsf{X}_j}{2}\right)=2k\, \Bigg|\, \mathsf{X}_{2n}=2\ell\right) $$ es igual a $$ \frac{\ell}{\binom{2n}{n-\ell}}\, \sum_{i=\ell}^{k} \binom{2i}{i-\ell} \binom{2n-2i}{n-i} \cdot \frac{1}{i(n-i+1)} $$ para un paseo aleatorio simple $(\mathsf{X}_0,\mathsf{X}_1,\dotsc,\mathsf{X}_{2n})$ .

Para su Teorema 1 $$ \mathbf{P}\left(\sum_{j=1}^{2n} \mathbf{1}_{(0,\infty)}\left(\frac{\mathsf{X}_{j-1}+\mathsf{X}_j}{2}\right)=2k\right)\, =\, u_{2k} u_{2n-2k}\, , $$ para $$ u_0=1\, ,\ \text{ and }\ u_{2k}\, =\, \mathbf{P}(\mathsf{X}_{2k}=0)\, =\, \frac{1}{2^{2k}} \binom{2k}{k}\, ,\ \text{ for $ k=1,2,\Npuntos $,} $$ la generalización a los tiempos Impares fue realizada algo recientemente por Gessel en diapositivas

Teoremas de Chung-Feller últimas diapositivas,

y por Grünbaum en un artículo

Una aproximación de Feynman-Kac a un artículo de Chung y Feller sobre las fluctuaciones en el juego de lanzar monedas

publicado en Actas de la Sociedad Matemática Americana . La respuesta a esta generalización es $$ \mathbf{P}\left(\sum_{j=1}^{2n+1} \mathbf{1}_{(0,\infty)}\left(\frac{\mathsf{X}_{j-1}+\mathsf{X}_j}{2}\right)=2k+1\right)\, =\, u_{2k} u_{2n-2k} \cdot \frac{2k+1}{2(n+1)}\, . $$ Por cierto, parece que el problema también se planteó como un ejercicio en el libro de texto de McKean:

Probabilidad: Los teoremas límite clásicos Ejercicio 3.4.2 en la p139.

Pero hasta donde yo sé, nadie ha afirmado una generalización de los resultados de la distribución condicional de Chung y Feller en el Teorema 2 a números Impares de pasos. (Puede que me lo haya perdido en algún sitio).

Nótese que el análogo de su Teorema 2a era el límite/especialización de su Teorema 2 a $\ell=0$ dando una distribución uniforme. Tiene sentido a partir de su fórmula del Teorema 2a si se cancela el $\ell$ en el numerador fuera de su suma con el $i$ (que es necesariamente $0$ en la suma de un solo mandato) en el denominador dentro de la suma.

Como pregunta secundaria, me pregunto por qué los combinadores a veces derivan fórmulas útiles y las anuncian como hizo Gessel (¿y posiblemente McKean?), pero luego no las publican. He hecho esa pregunta específicamente en AcademiaSE con más referencias para un ejemplo relacionado con esta cuestión:

¿Es habitual que los combinadores no publiquen todos sus resultados? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Hablando sólo por mí, la razón por la que no publico todos mis resultados es que escribo muy lentamente (no tiene nada que ver con la naturaleza de la combinatoria). Me lleva mucho tiempo organizar mi trabajo en algo publicable; es mucho más rápido poner algunos resultados en una presentación de diapositivas para una charla.

Pero me gustaría agradecerle las referencias. Tengo la intención de publicar este resultado algún día y es bueno saber que hay otras referencias al respecto.

En beneficio de los lectores que, como yo, piensan en términos de recuento de trayectorias de celosía en lugar de sumas de variables aleatorias asociadas a paseos aleatorios, puede ser útil replantear estas fórmulas en términos de trayectorias de celosía. Consideramos trayectorias formadas por pasos ascendentes $(1,1)$ y bajando escalones $(1,-1)$ , comenzando en el origen. (Las componentes horizontales son irrelevantes y se incluyen sólo por comodidad en la visualización). El resultado de Chung y Feller es que entre los $4^n$ caminos de longitud $2n$ el número con $2k$ pasos por encima de la $x$ -El eje es $\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}$ . El resultado análogo para caminos de longitud impar es que el número de caminos de longitud $2j + 2k 1$ con $2j 1$ pasos por encima de la $x$ -eje y $2k$ pasos a continuación es $\frac{j}{2(j+k)}\binom{2j}{j}\binom{2k}{k}$ . (Una trayectoria de longitud impar no puede terminar en el $x$ -eje; si termina por encima del $x$ -eje debe tener un número impar de pasos por encima del $x$ -eje. Conmutación $j$ y $k$ nos permite contar caminos con un número par de pasos por encima del $x$ -eje).