Grupos actuando en física - una aclaración sobre electrones y espín

Question

Mi primera pregunta es bastante básica, pero me gustaría aclarar mi entendimiento. La segunda pregunta es convertir esto en algo que valga la pena responder.

Considere un electrón relativista, descrito por una función de onda espinorial $\psi(\vec x ,\sigma)$ y la ecuación de Dirac. La sabiduría convencional es que al rotar todo en 360 grados se mapeará el espinor a su negativo $\psi \mapsto -\psi$. Sin embargo, me parece que esta afirmación es "obviamente falsa", porque una rotación de 360 es, cuando se ve como un elemento del grupo $SO(3)$, exactamente igual al mapeo de identidad y no puede mapear nada a su negativo.

Por lo tanto, para dar sentido al comportamiento del espín bajo "rotación", tengo que concluir lo siguiente

El grupo de rotación $SO(3)$ no actúa en el espacio de configuración (Hilbert) de los electrones. Solo su doble cobertura $SU(2)$ actúa en el espacio de los electrones.

¿Es correcta esta interpretación?

Entonces, básicamente, hay un grupo de simetría $SU(2)$ que actúa en "física", pero su acción en los grados de libertad espaciales es simplemente la de $SO(3).

¿Qué otros grupos, incluso más grandes que $SU(2)$, hay que (podrían) actuar en "física" y son una extensión de $SO(3)$? ¿Es posible clasificar todas las posibilidades, en particular aquellas que no son productos directos?

Por supuesto, las libertades de calibre darán lugar a productos directos como $SO(3) \times U(1)$ (actuando en espacio $\times$ potencial electromagnético), pero consideraría que estos son extensiones triviales.

Answer 1

El grupo $SO(3)$ es el grupo de transformación física de las rotaciones espaciales. También está contenido en el grupo Lorentz más grande, que es el grupo de isomorfismo de la métrica del espacio tiempo en la relatividad especial. Y se transforman objetos como vectores $\vec x$ de la siguiente manera $$\vec x \mapsto \vec x'= R\cdot\vec x,$$

donde $R\in SO(3)$ es una matriz.

En la mecánica cuántica se están interesados en los valores esperados de observables como $$\langle X\rangle_\psi:=\frac{\langle\psi|X|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}.$$ Este objeto es invariante bajo $|\psi\rangle\mapsto c\ |\psi\rangle$, donde $c$ es algún número complejo distinto de cero. El estado denotado con $\psi$ es un todo un rayo de vectores. Ahora quieres rotar el estado en el espacio de Hilbert

$$|\psi\rangle\mapsto T_R |\psi\rangle,$

donde $T_R$ es una transformación correspondiente a la rotación con representación fundamental $R$. Poniendo todo junto, ves que si representas transformaciones (rotaciones,...) en un espacio de Hilbert de la mecánica cuántica, tienes que representarlas ($SO(3),...$) solo hasta una fase. Por lo tanto, ahora tienes más opciones. Tu factor $-1$ es una de esas fases.

Puedes leer el segundo capítulo del libro de Weinberg sobre QFT para obtener más detalles. El resultado es la posibilidad de representaciones $SU(2)$, es decir, espinores. Hablando en términos generales podrías decir que aún usas los ángulos de $SO(3)$ para tu transformación, ya que ambos tienen tres parámetros. Pero como mencionaste en tu primera pregunta, $SU(2)$ está actuando activamente en los dos componentes del vector del fermión. Ten en cuenta que si tienes objetos dependientes de las coordenadas $\psi(\vec x)$, entonces el argumento $\vec x$ aún se transforma convencionalmente, mientras que el campo $\psi$ en sí tiene alguna ley de transformación.

Por supuesto, hay muchos más grupos relevantes para la Mecánica Cuántica y otras teorías físicas (como los grupos de calibre, como mencionaste). Pero en cuanto a tu segunda pregunta, en lo que respecta a "solo rotaciones", $SU(2)$ ya es el grupo de recubrimiento universal. Estos son los grupos de Lie simplemente conexos, que se encuentran en la cima de estas cadenas ascendentes que estás buscando.

Como nota adicional, esta doble cobertura también se puede hacer para otras dimensiones de algunos grupos $S$peciales.

Answer 2

Actualmente, el grupo de rotación $SO(3)$ sí actúa "en la física", incluso en presencia de espín.

La cuestión es que la función de onda $\psi(\vec x, \sigma)$ es una descripción redundante de un estado físico. Una función de onda con una fase total diferente $c\psi(\vec x, \sigma)$ describe exactamente el mismo estado físico. Después de todo, las únicas cantidades de interés son solo los valores esperados de observables

$$\langle X\rangle_\psi:=\frac{\langle\psi|X|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}.$$

y estos son invariantes bajo una rotación $R$

$$\langle X\rangle_{R\psi} = \langle X\rangle_{\psi} .$$

Matemáticamente, podemos decir que la acción del grupo de rotación en estados físicos es una representación proyectiva, es decir, actúa en líneas $\lbrace\lambda\psi(\vec x,\sigma), \lambda\in\mathbb C\rbrace$ (subespacios unidimensionales) en un espacio de Hilbert, pero no en los vectores individuales. Sin embargo, como se puede leer en la página de wikipedia mencionada arriba, cada representación proyectiva de un grupo de Lie como $SO(3)$ generalmente se puede obtener de una representación lineal de su grupo de recubrimiento universal como $SU(2)$. (Representación lineal simplemente significa que el grupo actúa en vectores individuales.)

Para resumir, el grupo de rotación $SO(3)$ también actúa en la mecánica cuántica ordinaria, pero para cálculos prácticos, es útil generalizarlo a $SU(2)$ en su lugar.

Incluso hay un poco de sutileza en cuanto a si consideras las funciones de onda como cantidades físicamente relevantes y añades una simetría adicional ("hasta la fase"), o si tomas el cociente "función de onda hasta la fase" como cantidades físicamente relevantes y trabajas en el espacio cociente.

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En cuanto a la segunda pregunta, creo que es posible clasificar todos los grupos de Lie $G$ con un homomorfismo $G \to SO(3)$ a través de cohomología de grupos, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con este tema como para dar una respuesta.