Álgebra de convolución en un grupo compacto - ¿unital?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo compacto. Sea $C(G)$ denotan el conjunto de todas las funciones continuas $G\to \mathbb{C}$ y que $\mu$ denotan la medida normada de Haar en $G$ . Convolución en $G$ , $*:C(G)\times C(G)\to C(G)$ se define por $$(f*g)(a)=\int_G f(ab^{-1})g(b)d\mu (b),\quad f,g,\in C(G).$$

Sé que $C(G)$ con convolución es un álgebra de Banach.

Supuestamente, esta álgebra es unital si G es finita. ¿Cómo se demuestra esto?

Answer 1

Una dirección es fácil, así que supongamos que el álgebra tiene una unidad $\delta$ . Demostraremos que $\delta(a) = 0$ para cualquier $a \ne e$ (donde $e \in G$ es la identidad del grupo). Si $G$ era infinito y por lo tanto no discreto, esto implicaría $\delta(e) = 0$ , lo que no puede ocurrir.

Si $a \ne e$ Supongamos que $\delta(a) = z \ne 0$ entonces podemos elegir una vecindad simétrica $U$ de $e$ tal que $\lvert \delta(x) - z \rvert < \lvert z \rvert/2$ para $x \in aU$ . Entonces, escogiendo, por ejemplo, una función positiva de valor real $f \in C(G)$ apoyado en $U$ con $f(a) = 0$ debería ser sencillo demostrar que $(\delta * f)(a)$ es distinto de cero, lo que contradice $\delta * f = f$ . Pista: mira $$\left\lvert (\delta * f)(a) - \int_U zf(b) \,d\mu(b) \right\rvert$$