De fondo
Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ y deje $G_{\mathbb{Q}}$ absoluto grupo de Galois $Aut(\overline{\mathbb{Q}})$. Para cualquier entero positivo $n$ $n$- torsión subgrupo $E\[n\](\overline{\mathbb{Q}})$ es estable bajo las $G_{\mathbb{Q}}$-acción. Desde $E\[n\](\overline{\mathbb{Q}})$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/n\\mathbb{Z})^2$ se obtiene un continuo (con respecto a la profinite topología de la izquierda y la discreta a la derecha) homomorphism $$ \overline{\rho_{E,\, n}}\colon G_{\mathbb{Q}} \a GL_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) $$ que se llama el mod de $n$ de representación asociados a $E$. Como $n$ varía estos son compatibles y tomando límites da representaciones $\rho_{E,\ell^{\infty}}$ $\rho_E$ con valores en $GL_2(\mathbb{Z}_l)$$GL_2(\widehat{\mathbb{Z}})$, lo que uno llama, respectivamente, el $\ell$-ádico y adelic representaciones asociadas a $E$.
Alternativamente, $\rho_{E,n }$ es isomorfo a la representación inducida por la acción de la $G_{\mathbb{Q}}$ sobre el etale cohomology $H^1_{\text{et}}(E_{\overline{\mathbb{Q}}}; \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$; la descripción de $\rho_{E,n}$ a través de torsión se generaliza para dar representaciones $\rho_{A,n}$ para dimensiones superiores abelian variedades, pero para una variedad de una vez debe utilizar cohomlogy.
Serre famoso demostrado que para $E$ una curva elíptica con $End(E) = \mathbb{Z}$, $\rho_E(G_{\mathbb{Q}})$ ha finito índice en $GL_2(\widehat{\mathbb{Z}})$. En particular, para $\ell$ grande $\rho_{l^{\infty}}$ es surjective; cuán grande debe tomar $\ell$ depende de $E$.
Conjetura
Este último hecho no depende de $E$. I. e. existe una constante $N$ tal que para cada a$E/\mathbb{Q}$$End(E) = \mathbb{Z}$$\ell \geq N$, el mod $\ell$ en representación $\overline{\rho_{E,\ell}}$ es surjective; equivalenty hay un límite superior (independiente de $E$) en el índice de $\rho_E(G_{\mathbb{Q}})$.
Por un trabajo reciente de Bilu y de los Padres, se sabe que la imagen es surjective o contenida en un no-split cartan subgrupo.
Mi Pregunta
¿Por qué la gente espera que esto sea cierto? Se desprende de otros creíble conjeturas? ¿Hay alguna heurística que predice esto?
Un hecho es que uno puede frase esta pregunta, como la insuficiencia de diversos modular de las curvas (por ejemplo,$X_{ns}(l)$, que tienen cada vez más grande de género) no-trivial de puntos racionales. Hay un geométricas razón por la que uno espera que estos modular curvas no tener no trivial de puntos racionales?
