Encontrar la matriz de la transformación lineal en una base diferente y escribirla en términos de la matriz original

Question

El problema plantea cómo la matriz $A$ de alguna transformación lineal en base $B=\{v_1, v_2, v_3\}$ en la base $B'=\{v_1+v_2,v_2+v_3,v_3\}$ así que encontré matrices de transición que son triangulares inferiores y la primera de $B' \to B$ es: $$T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1& 0 \\ 0 &1 &1 \end{bmatrix} $$ y su inversa, es decir $B\to B'$ : $$T^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1& 0 \\ 1 &-1 &1 \end{bmatrix} $$ Así que el problema dice sólo sobre $A$ como si quisieran el resultado en $A$ . Sin embargo no podía resolver sin anotar sus entradas: Así que digo $$A=\sum_{i=0,j=0}^{i=3,j=3}a_{ij}$$ . Y lo multipliqué y me salió algo muy feo así que : $$T^{-1}AT= \begin{bmatrix} a_{11}+a_{12} & a_{12}+a_{13} & a_{13} \\ a_{21}+a_{22}-(a_{11}+a_{12})& a_{22}+a_{23}-(a_{12}+a_{13})& a_{23}-a_{13} \\ a_{11}+a_{12}+a_{31}+a_{32}-(a_{22}+a_{21}) &a_{12}+a_{13}+a_{32}+a_{33}-(a_{22}+a_{23}) &a_{13}+a_{33}-a_{23} \end{bmatrix} $$ No veo cómo podría escribirlo en términos de $A$ por lo que asumo que debe haber algún error, pero como digo el ejercicio no dice explícitamente "escribirlo en términos de $A$ ", pero lo esperaría por cómo está redactado.

Answer 1

Se sabe que las nuevas componentes de un vector $v$ bajo un cambio de base es $T^{-1}v$ entonces tenemos $$Av=ATT^{-1}v,$$ y $$T^{-1}(Av)=(T^{-1}AT)(T^{-1}v)$$ donde podemos ver cómo los nuevos componentes $T^{-1}(Av)$ están relacionados por $T^{-1}AT$ con los nuevos componentes $T^{-1}v$

Answer 2

Debe ser $TAT^{-1}$ para que primero se vuelva a la base estándar, se aplique $A$ y luego vuelve a la base que quieras.

Al final, quieres un mapa $B^{\prime} \to B^{\prime}$ . $T:B \to B^{\prime}$ es la matriz que describes, por lo que hacer $T$ los primeros no tienen sentido