A mi modo de ver, a las otras respuestas les falta un importante elemento, una característica necesaria para que una herramienta o método matemático llamarse "truco".
En concreto, para que un método o técnica pueda ser calificado de "truco", debe debe implicar algún tipo de artificio o engaño. Cuando tratamos un objeto matemático matemático como algo que no es en realidad o cuando fingimos que algo es distinto de lo que es para avanzar en un argumento (lo que no quiere decir que las matemáticas no sean correctas), entonces estamos usando trucos. Cuando resolvemos un problema centrándonos en otra cosa, en la que no estamos realmente interesados como tal y que incluso puede ser tonta de alguna manera -una especie de despiste-, pero al hacerlo llegamos a tener éxito en el problema original, entonces estamos utilizando el engaño. Cuando sustituimos un concepto sólido, en el que estamos realmente interesados, por una versión modificada del mismo, tal vez incluso una versión absurda, pero que hace que el argumento funcione, entonces estamos utilizando el engaño.
Por ejemplo, con el truco de Craig, sustituimos una fórmula $\varphi$ con la conjunción consigo misma $\varphi\wedge\varphi\wedge\dots\wedge\varphi$ repetido muchas veces más. La nueva afirmación es simplemente una tontería y en realidad no nos importa como tal, aunque por supuesto es lógicamente equivalente a $\varphi$ . ¿Cómo podría ayudar? La cuestión es que podemos utilizar la nueva afirmación para codificar alguna información extra en una axiomatización o presentación: el número de veces que se ha repetido. Mediante este artificio, podemos deducir que toda teoría computablemente enumerable tiene un conjunto computable de axiomas. La misma idea funciona en muchos otros contextos. Por ejemplo, todo grupo presentable c.e. tiene una presentación computable, repitiendo convenientemente las relaciones en la presentación.
Con el truco de Scott, la cuestión a resolver es que la equivalencia de un objeto forma una clase propia, lo que puede causar ciertos problemas, por lo que sustituimos esa clase de equivalencia por la set de miembros de rango mínimo de la clase. Si pensamos en este falso clase de equivalencia como la real, ¡todo funciona de maravilla! Este truco es sorprendentemente robusto, y puede utilizarse para encontrar pequeños conjuntos canónicos de estructuras representativas en casi cualquier situación. Por ejemplo, en ZFC hay una manera definible de elegir un set de grupos de cada clase de isomorfismo de grupo: los grupos de rango mínimo de esa clase. Esto es un truco, porque realmente no nos importa mucho esa colección en particular como tal.
Con el truco de Rosser, sustituimos el concepto de teoría $T$ probar una sentencia $\sigma$ con: $T$ prueba $\sigma$ mediante una prueba para la que no existe una prueba más corta de $\neg\sigma$ . Cuando se pensar en la "prueba" utilizando este concepto, entonces la incompleto de Gödel se convierte en el teorema de Gödel-Rosser donde se pueden eliminar las hipótesis adicionales de Gödel sobre $\omega$ -consistencia. Esto es un truco, porque en realidad no queremos queremos pensar en la "prueba" usando el concepto de Rosser, excepto que hace que el argumento funcione.
En muchos de los otros trucos, hacemos algo que parece un poco absurdo al principio, desviando nuestra atención del problema original a esta otra cosa, que puede parecer irrelevante al principio, pero que cuando la seguimos más de cerca proporciona la respuesta que buscamos.
En cada caso, sustituimos los conceptos u objetos en los que estamos por conceptos u objetos que no nos interesan realmente. nos interesan como tales y que en varios casos son versiones cómicas del original, salvo que hacen que el argumento funcione.
