Aquí calculamos el orden de $2$ en $(\mathbb{Z}/{41}\mathbb{Z})^\times$ .
Nota: A la hora de calcular puedes utilizar el trabajo anterior a tu favor. Para reducir realmente los cálculos, si sabes que el orden es mayor o igual $10$ una vez que se calcula $2^{10} \pmod{41}$ ya está hecho,
$\quad 2^{10} \equiv 1 \pmod{41} \quad \text{order is } 10$
$\quad 2^{10} \equiv 40 \pmod{41} \quad \text{order is } 20$
$\quad \text{NOT }[2^{10} \equiv 1, 40 \pmod{41}] \quad \text{order is } 40$
Resumen del trabajo : $2^1 \equiv 2 \pmod{41}$ .
El orden de $2$ es uno de $2,4,8,5,10,20,40$ .
Resumen del trabajo : $2^2 \equiv 4 \pmod{41}$ .
El orden de $2$ es uno de $4,8,5,10,20,40$ .
Resumen del trabajo : $2^4 \equiv 16 \pmod{41}$ .
El orden de $2$ es uno de $8,5,10,20,40$ .
Resumen del trabajo : $2^5 = \equiv 32 \pmod{41}$ .
El orden de $2$ es uno de $8,10,20,40$ .
Resumen del trabajo : $2^8 \equiv 10 \pmod{41}$
El orden de $2$ es uno de $10,20,40$ .
Resumen del trabajo : $2^{10} \equiv 40 \pmod{41}$
El orden de $2$ es uno de $20,40$ .
Resumen del trabajo : $2^{20} \equiv 1 \pmod{41}$
El orden de $2$ es igual a $20$ .