Convergencia casi segura: ejemplo

Question

Una fábrica quiere estimar la cantidad de incidentes que se producen durante el producción de un producto $A$ . Los incidentes se producen a veces $T_1, T_2, \dots$ donde $T_i = X_1 + X_2 + \dots + X_i$ y $(X_i)_i$ son i.i.d. y positivos. Sea $$M(t)=\max{\{n:T_n\le t\}}$$ denotan el número de incidentes ocurridos hasta el momento $t$ . Supongamos que $\Bbb E(X_1) < \infty$ y demostrar que $M(t)\rightarrow\infty$ como $t\to\infty$ a.s.

Si he entendido bien la pregunta tengo que demostrar que $$\mathbb{P}\left(\lim_{t\to\infty}M(t)=\infty\right)=1$$ Se me da que $E[X_1]<\infty$ Así que probablemente tenga que utilizar la calidad de Markov en algún momento. Sin embargo, no veo cómo, ¿alguien podría darme una pista?

Answer 1

El límite $\lim_{t\to\infty} M(t)$ Llámalo $M(\infty)$ existe porque $t\mapsto M(t)$ es no decreciente. Para demostrar que $\Bbb P(M(\infty)<\infty)=0$ basta con demostrar que $\Bbb P(M(\infty)=k)=0$ para cada número entero positivo $k$ . Pero $\{M(\infty)=k\}\subset \{T_{k+1}=\infty\}$ . Ahora encuentra $\Bbb P(T_{k+1}=\infty)$ .

Answer 2

Puedes hacerlo así. Vamos a negar la probabilidad que quieres demostrar y ver si nos lleva a una contradicción.

$$\mathbb{P}(\lim_{t\to\infty}M(t)=\infty)=0$$

Desde $M(t)$ es una secuencia creciente de enteros, esto implica que :

$$\mathbb{P}(\exists L \in \mathbb{N},\lim_{t\to\infty}M(t)=L)=1$$

Esto es lo mismo que :

$$\mathbb{P}(\exists L,N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, M(n)=L)=1 \Rightarrow \mathbb{P}(\exists n \in \mathbb{N}, T_n =\infty )=1$$ Esto nos dice que : $\mathbb{P}(\exists n \in \mathbb{N}, X_n=\infty)=1$ lo cual es imposible porque $E[X_1]<\infty \Rightarrow \mathbb{P}(X_1 < \infty)=1$