$\tau=s \mathbf{1}_{A^c}+t\mathbf{1}_A$ , $A \in \mathcal F_s$ es un tiempo de parada

Question

Dejemos que $(\mathcal F_t)_{t\in T}$ sea una filtración.

Considere $s<t$ en T y $A \in \mathcal F_s$ .

Quiero demostrar que $\tau=s \mathbf{1}_{A^c}+t\mathbf{1}_A$ es un tiempo de parada.

Mis pensamientos: En ambos casos, $\omega \in A^c$ y $\omega \in A$ tenemos que $\tau(\omega)=const.$ Así que $\tau$ es un tiempo de parada en ambos casos (ya que es constante). ¿Es ésta una "prueba" válida? De alguna manera se siente mal.

En caso de que esto sea erróneo, he pensado en lo siguiente: Tenemos que demostrar que $\{\tau\leq u\}\in \mathcal F_u\ \forall u \in T$ .

$\{\tau \leq s\}=A^c\in F_s$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\{\tau \leq u\}\in F_u$ para $u>s$ ?

Answer 1

La variable aleatoria es $$\tau(\omega)=s\mathbf{1}_{A^c}(\omega)+t\mathbf{1}_{A}(\omega),\,\omega \in \Omega$$ Ahora, fíjate en que $$\{\omega \in \Omega: \tau(\omega)\leq u\}=\begin{cases} \Omega&u\geq t\\ A^c& s\leq u<t\\ \emptyset &u<s \end{cases}$$ Como $\mathcal{F}_s\subseteq \mathcal{F}_u$ entonces $A^c \in \mathcal{F}_u,\,\forall u >s$ . El conjunto vacío está en todo $\sigma$ -y la afirmación es la siguiente.