Cálculo de la derivada: $\frac{\partial}{\partial x} \left\{ \int_0^t \int_{x - t + \eta}^{x + t - \eta} F(\xi,\eta) \,d\xi\, d\eta \right\}$

Question

Digamos que $F$ es una función agradable y bien llevada. ¿Cómo puedo calcular la siguiente derivada?

$$\frac{\partial}{\partial x} \left\{ \int\limits_0^t \int\limits_{x - t + \eta}^{x + t - \eta} F(\xi,\eta) \,d\xi \,d\eta \right\}$$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

$$= \int_0^t \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \int\limits_{x - t + \eta}^{x + t - \eta} F(\xi,\eta) \, d\xi \right\} \, d\eta $$

$$= \int_0^t \left\{ F(x - t + \eta, \eta) + F(x + t - \eta, \eta) \right\} \, d\eta $$

$$= \int_0^t F(x - t + \eta, \eta) \,d\eta + \int_0^t F(x + t - \eta, \eta) \, d\eta $$

¿Es esto correcto? ¿O me falta un signo menos ahí?

Answer 1

Desde $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(x) \, dx=f(x)$$ y $$\frac{d}{dx}\int_x^a f(x) \, dx=-\frac{d}{dx}\int_a^x f(x)=-f(x)$$ y de manera similar $$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(x) \, dx=f(x)g'(x)$$

Deberías tener, $$\frac{\partial}{\partial x} \left\{ \int\limits_{x - t + \eta}^{x + t - \eta} F(\xi,\eta) d\xi \right\}= \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \int\limits_{x - t + \eta}^{0} F(\xi,\eta) d\xi + \int\limits_{0}^{x + t - \eta} F(\xi,\eta) d\xi \right\}\\ =-F(x - t + \eta,\eta) + F(x + t - \eta,\eta)= F(x + t - \eta,\eta)-F(x - t + \eta,\eta) $$ y por lo tanto $$\frac{\partial}{\partial x} \left\{ \int\limits_{0}^{t} \int\limits_{x - t + \eta}^{x + t - \eta} F(\xi,\eta) d\xi d\eta \right\} =\int_0^t F(x + t - \eta,\eta)-F(x - t + \eta,\eta)d\eta$$