Prueba formal de área de un rectángulo es $ab$

Question

He intentado demostrar que el área de un rectángulo es $ab$ dado lado longitudes $a$ y $b$.

Lo mejor que puedo hacer es asumir el área de un cuadrado de $1\times1$ $1$. Entonces, no el número de plazas de #% de #% % que cabe en un rectángulo de $1\times1$ es $a\times b$. Por lo tanto el área es $ab$. Esto no parece riguroso sin embargo.

Answer 1

Esta es una buena pregunta! En la cara de ella, parece que antes de que usted pueda comenzar a ser riguroso, usted tiene que definir con precisión lo que significa que el área de un rectángulo. Pero esto es sólo lo que están tratando de probar!

Sin embargo, existe otro enfoque: se definen exactamente las propiedades que requieren de una razonable área métrica. Luego de adoptar estas propiedades como su axiomas, y el uso de ellos para mostrar que un $a \times\ b$ rectángulo tiene de área $ab$.

En un plano Euclidiano, sería de esperar que los siguientes axiomas para mantener una razonable área de la métrica en la $a \times b$ rectángulos (con $a, b \ge 0$):

$A1$: El área de un $1 \times 1$ rectángulo es $1$.

$A2$: Cualquiera de los dos rectángulos congruentes tienen la misma área.

$A3$: Si un rectángulo $R$ es la unión de distintos rectángulos $S$$T$, entonces el área de $R$ es igual a la suma de las áreas de $S$$T$.

Dados estos axiomas, yo creo que se puede demostrar por inducción que para los números racionales $a$$b$, el área de un $a \times b$ rectángulo es, de hecho,$ab$. Pero, ¿qué acerca de los rectángulos con irracional lados? Creo que esto podría requerir otro axioma:

$A4$: Si un rectángulo $R$ contiene un rectángulo $S$, entonces el área de $R$ no es menor que el área de $S$.

De lo contrario, usted podría ser capaz de construir patológica área de métricas con el Axioma de Elección. Pero estoy abierto a la corrección de este.

Si alguien puede sugerir correcciones o mejoras a este axioma conjunto, siéntase libre de publicar por separado una respuesta, así que no se pierdan en los comentarios.

Answer 2

Con el fin de interpretar las longitudes y las áreas como los números, usted tiene que fijar una unidad de longitud y una unidad de área. El ex generalmente se realiza mediante la definición de un sistema de coordenadas, mientras que la segunda por lo general define el cuadrado de la longitud de la unidad como unidad de área. Pero que la plaza es un producto, de modo que la definición ya se supone que el área a de la $1\times 1$ cuadrado es $1$, lo cual parece ser algo que usted desea probar.

Si usted acepta este tipo de configuración, entonces usted puede considerar la posibilidad de transformaciones de su rectángulo que lo convierten en otro rectángulo de la misma zona, pero con la longitud de la unidad como la longitud de una arista. En el caso de que usted puede probar que el otro borde será el producto de la original de borde de longitudes. Usted puede utilizar un von Staudt construcción para expresar este producto geométricamente, basado en la longitud de la unidad.

Answer 3

Para los números naturales: Considerar un ancho W >= 0, y una altura H = 0, el Área del rectángulo = 0.
Área para la altura H(N) = H(N-1)+1, zona A(N) = A(N-1)+W. por inducción Área = Altura * Anchura. Para los números racionales, Ancho = a/b, Altura = c/d. Donde abcd son Números Naturales. Altura de la anchura x = (ac)/(bd). Ancho x Heightx (bd)=ac. Toma de ca como el área de un rectángulo de longitudes a y c números naturales (como se muestra por inducción), el cual está dividido en b*d rectángulos, el área de cada uno de los rectángulos más pequeños es (ac)/(bd). Así, el área del rectángulo de anchura (a/b) * altura (c/d) es en efecto la anchura * altura. La inducción de la prueba funciona con una irracional de una dimensión, y por lo tanto con una racional en una dimensión con un irracional en el otro. Ahora vamos a considerar la altura del número irracional, y que este número irracional puede ser definida como una secuencia infinita que converge ¿Cómo se puede añadir un número infinito de racionales rendimiento de un número irracional?. Cada término en que secuencia infinita es un número racional, por lo tanto tiene un área de ancho * el valor de la expresión. La altura es la suma de estos términos y el área es la suma de estos términos multiplicada por el ancho. Hecho.