Dado un homeomorfismo bi-Lipschitz $\Phi:\mathbb{B}^n(0,1)\to\mathbb{R}^n$ (que es un mapa bi-Lipschitz sobre la imagen), ¿se puede encontrar un homeomorfismo bi-Lipschitz $\Psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tal que $$ \Psi|_{\mathbb{B}^n(0,\frac{1}{2})}=\Phi|_{\mathbb{B}^n(0,\frac{1}{2})}\ \ ? $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
crashmstr
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Permítanme describir un caso de bebé de la construcción de Sulivan que es hermoso.
Supongamos que tengo un homeomorfismo $h$ del pentágono a sí mismo que envía cada lado a sí mismo.
Supongamos que el pentágono tiene ángulos rectos en el modelo de disco conforme del plano de Lobachevsky. Extendamos el mapa $h$ al disco aplicando reflexiones en los lados del pentágono, por lo que el mapa obtenido $\tilde h$ conmuta con y cualquier reflejo en un lado del pentágono.
Tenga en cuenta que $\tilde h$ es bi-Lipschitz y es identidad en la frontera del disco. Así que podemos extender $\tilde h$ por mapa de identidad fuera de disco.
Es problemático hacer lo mismo para el general $h$ y dimensiones superiores, pero todo esto parece estar resuelto por Sullivan.
