Probabilidad basada en la distancia de Hamming

Question

Dos $n$ cadenas binarias de bits $S_1$ et $S_2$ se eligen al azar con una probabilidad uniforme.

La probabilidad de que la distancia Hamming entre estas cadenas (el número de posiciones de bits en las que difieren las dos cadenas) sea igual a $d$ es:

1. $\binom{n}{d} \over {2^n}$
2. $\binom{n}{d} \over {2^n}$
3. $d\over2^n$
4. $1\over2^d$

...elige la respuesta correcta.

He intentado resolver el problema, pero no he encontrado ninguna forma adecuada de abordar este problema.

Answer 1

Si he entendido bien el problema, y corregidme si me equivoco:

En primer lugar se requiere que el número de $1$ s en $S=S_1 \oplus S_2$ será $d$ .
El número de distintos pedido pares de cadenas binarias que satisfacen lo anterior para un determinado $S$ es $2^{n}$ .
En segundo lugar, el número de cadenas binarias con exactamente $d$ $1$ es $\binom{n}{d}$ y el número total de pares distintos de cadenas es $2^{2n}$ .

Dado lo anterior, la probabilidad de que la distancia de Hamming sea $d$ para dos cadenas aleatorias es: $$P(d)=\frac{2^n \binom{n}{d}}{2^{2n}}=\frac{ \binom{n}{d}}{2^{n}}$$

Answer 2

Empieza con un caso sencillo, toma $d=0$ (ambas cadenas son exactamente iguales). La probabilidad de que una determinada secuencia coincida es $\frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{2n}}$ y tienes $2^n$ tales posibilidades, por lo que para $d=0$ esta probabilidad es $\frac{2^n}{2^{2n}}=\frac{1}{2^n}$ . ¿Puede ampliar esta idea?