Subgrupo derivado del grupo base de un producto de corona estándar

Question

Dejemos que $G=H\wr K$ sea el producto estándar de la corona con $K\ne 1$ . Demuestre que $B'\leq [B,K]$ donde $B$ es el grupo base de $G$ . Deduce que $G/[B,K]\cong (H/H')\times K$ .

Este es el problema 1.6.20 de Curso de teoría de grupos . Cuando inicialmente miré este problema, lo descarté rápidamente pensando que sólo requeriría un simple cálculo de conmutadores. Tal vez siga siendo así, pero después de dedicar algo de tiempo a esto, no puedo encontrar una razón para que esto sea así. Aquí hay un ejemplo de algunas de las cosas que he intentado.

Para $a,b\in B$ con $k^{-1}bk=c$ para algunos $c\in B$ et $k\in K$ , \begin{align*} [a,c]&=[a,k^{-1}bk]\\ &=[a,bk][a,k^{-1}]^{bk}\\ &=[a,k][a,b]^{k}[a,k^{-1}]^{bk}. \end{align*} Esto parece no ir a ninguna parte... Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

A continuación, un resumen de cómo hacerlo. $B$ es un producto directo $H_1 \times \cdots \times H_k$ de copias de $H$ . Si $h \in H$ et $k \in K$ conjugados $H_1$ a $H_2$ entonces $$[k,(h,1,\ldots,1)] = (h,h^{-1},1,\ldots,1) \in [B,K].$$ Ahora $[B,K]$ se normaliza con $B$ Así pues, para cualquier $h' \in H$ , $$[(h',1,\ldots,1),(h,h^{-1},1,\ldots,1)] = ([h',h],1,\ldots,1) \in [B,K],$$ así que $[B,K]$ contiene $(H',1,\ldots,1)$ . Dado que lo mismo ocurre con los demás factores directos de $B$ contiene $[B,B]$ .