Representación en serie del recíproco del primo

Question

En el artículo sobre primos únicos en Wikipedia. se afirma que la representación del recíproco de un primo $p$ en la base numérica $b$ es periódica de periodo $n$ si

$$\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {q}{(b^{n})^{i}}}$$ donde $q$ es un número entero positivo menor que $b^n$

No tengo ni idea de cómo se obtiene esta representación concreta. Por favor, proporcione una prueba o señale algunos recursos donde pueda encontrar esta representación de $\frac{1}{p}$ .

Gracias de antemano.

Actualización:

Dejemos que $p$ sea un primo y $n$ sea el periodo de $\displaystyle \frac{1}{p}$ en la base $b$ et $b \not\mid p$ .

Si, $\displaystyle \frac{1}{p} = (0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_n})_b$ donde $a_1, a_2, a_3, \dots \in \mathbb{Z}_b$

Entonces, $\displaystyle \frac{1}{p} = a_1a_2a_3 \dots a_n\left (\frac{1}{b^n} + \frac{1}{b^{2n}}+\frac{1}{b^{3n}}+\dots \right) = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{q}{(b^n)^i}$ , donde $ q = a_1a_2a_3 \dots a_n$ .

No estoy seguro de cómo $(0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_n})_b = a_1a_2a_3 \dots a_n\left (\frac{1}{b^n} + \frac{1}{b^{2n}}+\frac{1}{b^{3n}}+\dots \right)$ tiene

Answer 1

No estoy seguro de cómo $(0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_n})_b = a_1a_2a_3 \dots a_n\left (\frac{1}{b^n} + \frac{1}{b^{2n}}+\frac{1}{b^{3n}}+\dots \right)$ tiene

Bueno, $(0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_n})_b=0.a_1a_2a_3\dots a_na_1a_2a_3\dots a_na_1a_2a_3\dots a_n\dots$

$=\dfrac{a_1}{b}+\dfrac{a_2}{b^2}+\cdots\dfrac{a_n}{b^n}+\dfrac{a_1}{b^{n+1}}+\dfrac{a_2}{b^{n+2}}+\cdots\dfrac{a_n}{b^{2n}}+\dfrac{a_1}{b^{2n+1}}+\dfrac{a_2}{b^{2n+2}}+\cdots+\dfrac{a_n}{b^{3n}}+\cdots$

$=\dfrac{a_1b^{n-1}+a_2b^{n-2}\cdots+a_n}{b^n}+\dfrac{a_1b^{n-1}+a_2b^{n-2}+\cdots+a_n}{b^{2n}}+\dfrac{a_1b^{n-1}+a_2b^{n-2}+\cdots+a_n}{b^{3n}}+\cdots$

$=a_1a_2\dots a_n\left(\dfrac1{b^n}+\dfrac1{b^{2n}}+\dfrac1{b^{3n}}+\cdots\right).$