El radio espectral del operador normal

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $T$ sea un operador lineal acotado en $H$ . Demostrar que si $T$ es normal, entonces el radio espectral de $T$ ,

$$r(T)=\|T\|.$$

¿Es esto cierto?

Answer 1

Recordemos la fórmula de Gelfand para el radio espectral de un operador acotado $T$ : $$r(T) = \lim_{n\to\infty} \|T^n\|^{\frac1n}. $$ Si $T$ es un operador autoadjunto y $\|f\|=1$ entonces $$\|Tf\|^2 = \langle Tf, Tf\rangle = \langle T^2f, f\rangle\leqslant\|T^2f\|\|f\|=\|T^2f\| $$ lo que implica $\|T^2\|=\|T\|^2$ . Por inducción se deduce que $\|T^{2^n}\|=\|T\|^{2^n}$ para todos $n$ y por lo tanto $$r(T) = \lim_{n\to\infty} \|T^{2^n}\|^{\frac1{2^n}} = \lim_{n\to\infty}\|T\|=\|T\|. $$ Si $T$ es normal, entonces por inducción $\|(T^*T)^n\|=\|T^n\|^2$ y como $T^*T$ es autoadjunto, $$r(T^*T)=r(T)^2=\|T\|^2,$$ de lo que se deduce que el radio espectral de un operador normal es igual a su norma de operador.

Answer 2

Dejemos que $E$ sea la única descomposición espectral de $T$ . Entonces, existe un isomorfismo isométrico $\phi :L^{\infty}(E)\mapsto B(H)$ tal que $\phi$ asigna la función de identidad a $T$ donde $B(H)$ es el dual de $H$ ( $L^{\infty}(E)$ es un álgebra de Banach de funciones acotadas de Borel sobre $\sigma(T))$ con la norma sup). Sea $I:\sigma(T)\mapsto \mathbb{C}$ sea el mapa de identidad en el espectro de $T$ . Entonces, como $I\in L^{\infty}(E)$ (Ya que $\sigma(T)$ es compacto en $\mathbb{C}$ ), se deduce que \begin{align*} \rho(T):=sup\left\{\lambda\in \mathbb{C}|\lambda\in \sigma(T)\right\}=&\rVert I\rVert_{L^{\infty}(E)}\\ =&\rVert \phi(I)\rVert_{B(H)} \quad \text{ $\because$ $\phi$ is an isometry}\\ =&\rVert T\rVert_{B(H)} \quad \text{ $\because$ $\phi$ maps identity to $T$} \end{align*}