El problema inverso de Galois, ¿para qué sirve?

Question

Hace varios años asistí a una charla coloquio de un experto en teoría de Galois. Motivó algunos de sus trabajos sobre su relación con la problema de Galois inverso . Durante la charla, un chico del público preguntó: " ¿por qué yo, como teórico de los números, debería preocuparme por el problema inverso de Galois? "

Debo decir que, como joven estudiante de posgrado que trabaja en la teoría de Galois, esta pregunta me asombró o incluso quizás me sorprendió. Pero más tarde, me di cuenta de que debería haberme hecho esta pregunta hace mucho tiempo.

¿Puede plantear razones para convencer a un matemático (no sólo a un teórico de los números) de la importancia del problema inverso de Galois? O tal vez por qué no es importante si quieres arruinar la fiesta ;)

Answer 1

Si no todos los grupos son grupos de Galois sobre Q, es probable que haya alguna estructura que pueda considerarse un obstáculo, y entonces probablemente sería esencial conocer esta estructura. Por ejemplo, no todos los grupos son grupos de Galois sobre campos locales: tienen que ser solubles. Esto se debe a las propiedades básicas de la filtración de ramificación superior, que es, sorprendentemente, esencial conocer si se quiere entender los campos locales. Así que se podría decir que es una aproximación para encontrar una estructura más profunda en el grupo de Galois absoluto. ¿Por qué no hacerlo directamente? El problema de buscar directamente la estructura es que no es una cuestión de sí/no, y por eso a veces se pierde la pista de lo que se está haciendo exactamente (aunque en temas nuevos y fértiles a menudo no se pierde). Así que el problema de Galois inverso tiene la ventaja de ser una pregunta de sí/no y la ventaja de que las cosas serían realmente interesantes si la respuesta es No. Por desgracia, creo que se espera que la respuesta sea Sí, aunque corregidme si me equivoco.

Answer 2

La pregunta no es realmente de mi incumbencia, pero puedo dar una respuesta de stock. Puede que sea una buena respuesta en el sentido de que convenza a un extraño como yo.

La versión más estrecha del problema de Galois inverso, encontrar todos los grupos de Galois de extensiones finitas de $\mathbb{Q}$ podría no ser tan interesante. Una pregunta mejor sería la siguiente: Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $\mathbb{F}$ sea un campo de característica 0 (o más generalmente un campo perfecto). ¿Puedes describir el conjunto (o espacio de moduli si quieres) de todas las extensiones de Galois de $\mathbb{F}$ en $G$ ? Por ejemplo, si $G = C_2$ Es una buena pregunta con una buena respuesta; la pregunta es un modelo de toma de raíces cuadradas de elementos de $\mathbb{F}$ . Teniendo en cuenta este caso especial, siempre es una buena pregunta. Puede verse como una teoría de surdos no abelianos.

Si para un campo determinado $\mathbb{F}$ y un grupo finito dado $G$ ni siquiera se sabe si hay algún punto en el espacio de moduli de las extensiones con grupo de Galois $G$ Entonces apenas sabes nada. En particular, $\mathbb{Q}$ es un campo importante, y hay muchos grupos finitos específicos de los que la gente no sabe mucho.

Answer 3

Personalmente, no conozco ninguna aplicación inmediata de una respuesta positiva (o negativa) al problema inverso de Galois. Al mismo tiempo, el problema me parece un estándar útil para medir el progreso matemático.

La respuesta al problema inverso de Galois para las extensiones solubles requería la teoría de los campos de clase (una de las cimas de las matemáticas de principios del siglo XX). Esto puede verse como una prueba de que la capacidad de resolver el problema inverso de Galois implica una comprensión más profunda de una variedad de cosas matemáticas.

Answer 4

El Teorema de Bauer (una simple consecuencia del Teorema de la Densidad de Chebotarev) establece que una extensión finita extensión de Galois K de un campo numérico algebraico F está determinada de forma única (como un subield de algún cierre algebraico fijo de F) por el conjunto de primos de F que se dividen completamente en K. Por tanto, conocer todos los grupos de Galois posibles es lo mismo que conocer todas las leyes de división posibles en extensiones de Galois finitas. Ser capaz de describir estas leyes de división de alguna manera explícita explícita es básicamente la "reciprocidad no abeliana", que es el problema más importante en la teoría algebraica de los números, por lo que el "problema inverso de Galois" es de importancia FUNDAMENTAL para todos los los teóricos de los números.

Answer 5

Cualquier rama de las matemáticas, después de las primeras definiciones, hará que todo el mundo se plantee rutinariamente algunas preguntas básicas. Considero que el Problema de Galois Inverso es una de ellas. Si la pregunta (i) no es muy técnica, (ii) puede entenderse en etapas muy tempranas y (iii) no parece inventada, entonces se justifica.

Estas son las preguntas naturales que el sujeto debe intentar responder. (Es irrelevante si para resolverlas se necesitan medallistas Fields o licenciados).

Permítame enumerar más preguntas de la misma categoría (¡no necesariamente del mismo nivel de dificultad!)

1. ¿Qué divisores de $|G|$ son órdenes de subgrupos de $G$ ?

2. ¿Qué subconjuntos abiertos conectados del plano complejo son biholomorfos al disco unitario?

3. Para qué números $d$ es el anillo $\mathbf{Z}[\sqrt d]$ ¿un UFD?

4. Qué grupos finitos aparecen como subgrupos de $\mathbf{SO}(3)$ ?

5. ¿Qué números enteros están representados por una forma cuadrática integral indefinida/definida?

6. ¿Qué curvas proyectivas son subvariedades del plano proyectivo?

He tenido la impresión de que esta es la forma de pensar de los matemáticos. Si alguien cuestiona la pertinencia de las preguntas anteriores, me resultaría difícil comunicarme con esa persona.