Si tenemos una secuencia exacta de espacios vectoriales de dimensión finita $$0\rightarrow E'\rightarrow E\rightarrow E''\rightarrow0$$ entonces una orientación de dos cualquiera induce una orientación de la tercera. Acabo de leer que aparentemente esto también se cumple en el caso de los haces vectoriales $$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$$ donde A es un $n$ -C es un haz de planos, C es un $m$ -y B es un haz de $(n+m)$ - un paquete de aviones. Creo que entiendo por qué esto es cierto dada la definición básica de una orientación (en términos de la orientación de cada fibra y la compatibilidad local), pero al intentar leer el libro de Milnor-Stasheff sobre clases características, parece que para el haz orientado n-plano A, se obtiene un generador único para $n^{th}$ cohomología del par $(A,A-\{0\})$ que restringe a la orientación elegida de cada fibra a través del isomorfismo Thom. ¿Puede alguien explicar lo que ocurre con el $n,m,$ y $n+m$ -clases de cohomología de $(A,A-\{0\})$ , $(B,B-\{0\})$ y $(C,C-\{0\})$ respectivamente?
Respuesta
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Una forma más limpia de pensar en la orientación de un $n$ -haz vectorial de dimensiones $V$ para hacer esto es que es una trivialización del poder exterior superior $\Lambda^{\dim V} V$ . Esto hace que el argumento para los haces vectoriales sea casi idéntico al de los espacios vectoriales: demuestre que si
$$0 \to U \to V \to W \to 0$$
es una secuencia exacta corta de haces vectoriales, entonces existe un isomorfismo de haces de líneas
$$\Lambda^{\dim V} V \cong \Lambda^{\dim U} U \otimes \Lambda^{\dim W} W$$
que muestra claramente que las trivializaciones de dos de estos haces de líneas cualesquiera inducen trivializaciones del tercero.
