Estados propios de un operador de campo bosónico

Question

Aunque se discutan cuestiones relacionadas aquí y aquí Todavía estoy confundido sobre los estados propios del operador de campo de un campo bosónico $$ \hat{\phi}(\vec{x},t=0)|\phi\rangle=\phi(\vec{x})|\phi\rangle $$ ¿Significa esto que todos los estados de la QFT están relacionados con una configuración de campo en el espacio? Se dice que los estados cumplen la relación de completitud $$ \int d\phi(\vec{x})\,|\phi\rangle\langle\phi|=1. $$ La medida aquí significa que integramos sobre todas las configuraciones del campo? ¿O significa que integramos sobre todos los valores que puede tomar un campo en la posición $\vec{x}$ ? Debe ser el primer caso ya que un estado no puede ser especificado sólo por el valor propio con respecto al operador de campo en un punto, ¿verdad? Esto estaría de acuerdo con $$ \langle\phi_a|\phi_b\rangle=\prod_\vec{x}\delta(\phi_a(\vec{x})-\phi_b(\vec{x})). $$ Entonces, ¿no se debería escribir más bien $$ \prod_\vec{x}\int d\phi(\vec{x})\,|\phi\rangle\langle\phi|=1. $$

¿Cómo se puede tomar el rastro de un operador? $$ \text{tr}\,\hat{\mathcal{O}}=\int d\phi(\vec{x}) \langle\phi|\mathcal{O}|\phi\rangle $$ o $$ \text{tr}\,\hat{\mathcal{O}}=\prod_\vec{x}\int d\phi(\vec{x}) \langle\phi|\mathcal{O}|\phi\rangle $$ ¿o incluso algo diferente?

Las fórmulas que he utilizado son de Kapusta "Finite Temperature Field Theory Principles and Applications", p. 12+13.

Answer 1

El $x$ en la medida $D\phi(x)$ de la integral funcional $\int D\phi(x) F(\phi(x))$ es una variable ficticia que se integra implícitamente, así que, no, no debes integrarla de nuevo. De hecho, $D\phi(x) \propto \prod_x \Delta \phi(x)$ asumiendo una discretización $x$ , donde $\Delta\phi(x)$ representa la diferencia entre dos instancias (cercanas) de la función $\phi(x)$ .

Asimismo, $\int D\phi(x) \left| \phi \right\rangle \left\langle \phi\right|$ significa realmente $\int D\phi \left| \phi \right\rangle \left\langle \phi\right|$ donde $\phi$ denota una única posibilidad para toda la función $x\rightarrow \phi(x)$ en absoluto $x$ .

Ver este para más información.

En cuanto a la cuestión de la relación entre $\left|\phi\right\rangle $ y $\phi (x) $ : se toma una función arbitraria $\phi (x) $ y se asigna un estado $\left|\phi\right\rangle $ a ella. Por el contrario, la identidad del Estado $\left|\phi\right\rangle $ se define por la configuración del campo $\phi (x) $ . Se trata de estados muy abstractos, como los estados de posición en la QM ordinaria: sólo se asume la asociación entre $ x $ y $\left|x\right\rangle $ .