¿Qué aplicaciones prácticas tiene la teoría de conjuntos?

Question

Soy un no-matemático. Estoy leyendo sobre la teoría de conjuntos. Es fascinante, pero me pregunto si ya ha encontrado alguna aplicación en el "mundo real". Por ejemplo, en el instituto, cuando aprendíamos las propiedades de i Muchos de los niños se preguntaban para qué se utilizaba. El profesor respondió que se utilizaba para describir las propiedades de la electricidad en los circuitos. Entonces, ¿existe una aplicación práctica similar de la teoría de conjuntos? ¿Algo que no podríamos hacer o construir sin la teoría de conjuntos?

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Edit: En realidad, estoy preguntando sobre la practicidad del conocimiento de las propiedades de los conjuntos infinitos, y su cardinalidad. Estoy leyendo el libro de Peter Suber [A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets][1] ([Wayback Machine](https://web.archive.org/web/20110703003113/https://earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm)). Las propiedades de los conjuntos infinitos parecen poco intuitivas, pero por supuesto, las pruebas demuestran que son ciertas.

Mi opinión es que a quien se le ocurrió la raíz cuadrada de -1 lo hizo muchos años antes de que se "escapara" de las matemáticas y encontrara un uso práctico. Antes de eso, tal vez la gente pensaba que era inteligente, pero no necesariamente útil o incluso "verdadera". Así que, si necesitas entender la electricidad, y puedes hacerlo mejor utilizando i Entonces, incluso alguien que piensa que es una tontería tener una raíz cuadrada de -1 negativo tendría que admitir a regañadientes que hay algo de "realidad" en ella, a pesar de su falta de intuición, porque la electricidad se comporta como si "existiera".

Viendo que hubo tanta resistencia a los conjuntos infinitos al principio, incluso entre los matemáticos, me pregunto: ¿se ha "demostrado que las matemáticas de los conjuntos infinitos valen la pena" al tener una aplicación práctica fuera de las matemáticas, para que nadie pueda decir que son sólo unos juegos imaginativos?

Answer 1

Como matemático en activo, no como lógico que es lo que no soy, la teoría de conjuntos es el conjunto (!) de reglas para poder utilizar el símbolo $\in$ que significa "pertenece a". Eso me dice cuándo y cómo puedo usarlo.

EDIT: Alguien ha votado a la baja mi (corta) contribución. Me gustaría decirle que lo que he dicho no es tan trivial como él puede pensar. Esto es lo que dice mi colega Luck Darnière, especialista de las teorías de los modelos (en Francia):

El lenguaje de los conjuntos consiste en un único símbolo de relación binaria, "pertenece a" [ $\in$ ]. En este lenguaje se expresan todos los axiomas de la teoría de conjuntos.

Le sugiero a mi votante que piense en eso...

Answer 2

Para complementar algunas de las respuestas anteriores, especialmente la de Zach Cont.

Para la pregunta 1, sobre todo para conjuntos finitos, pero no sólo: Tanto en el nivel más elemental como en el más implicado o más interno de las matemáticas, la teoría de conjuntos, la lógica clásica y la combinatoria están profundamente relacionadas. La mayoría de las aplicaciones de cualquiera de las dos pueden verse en realidad como una aplicación de la tercera.

Muchos usos de los diagramas fuera de las matemáticas utilizan una combinación de la teoría de conjuntos ingenua y la lógica booleana clásica. El lenguaje técnico de muchas disciplinas utiliza los términos unión , intersección , complemento de conjuntos, y utilizar una correspondencia entre la combinación (lógica) de condiciones sobre los elementos y la combinación de creación de subconjuntos y operaciones. Esto se remonta al menos a Leibniz y probablemente a la época medieval (tradición escolástica, por ejemplo). Los nombres tradicionales en este ámbito proceden sobre todo del siglo XIX, como De Morgan, Boole, Pierce, Grassmann, Venn o Cayley.

En este contexto, tiene sentido estudiar un tratamiento más preciso de la teoría de conjuntos para que refuerce la intuición de lo que es razonable y expresable en este contexto. Proporciona herramientas conceptuales limpias y un lenguaje refinado para analizar problemas e informar sobre opiniones y hechos. Por lo general, con los estudiantes de secundaria, la discusión de las paradojas clásicas como la de Russel y el axioma de la fundación lleva a apreciar mejor el arte de definir y la forma de utilizar (incluso en contextos no matemáticos) cuantificadores y adverbios informales como todos, siempre, nunca, ninguno, nadie, en todas partes, siempre, al menos, etc.

Puede que esto no parezca muy espectacular, pero si se tiene en cuenta la habitual dejadez (a veces voluntaria) de los periódicos, los libros y la conversación en general, esto me parece muy práctico para los no matemáticos.

Unas nociones sólidas de la teoría de conjuntos y la capacidad de pensar en términos de productos cartesianos, relaciones como cocientes, etc. son la base de un buen conocimiento de la probabilidad (véase la teoría de la medida en otras respuestas) y la estadística (y básicamente la medición experimental de datos, la física cuántica, las técnicas actuariales y, desde los años 60, la minería de datos, los lenguajes de consulta de bases de datos, ...). Ciertamente no descarto que pudiéramos haber desarrollado ciencias y tecnologías similares por otros caminos, pero les habría dado un aspecto muy diferente y aprender todas estas materias (en lugar de recrearlas con otros fundamentos) sin conocer la teoría de conjuntos es especialmente difícil y limitante para el aprendiz.